Bestiario Topológico

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Mathematical Dependency Tree

De Miguel A. Maldonado - febrero 08, 2019

El conjunto de Cantor con GeoGebra

De Carlos Ponce - octubre 27, 2018

Introducción Muchos fractales se forman realizando una acción simple una y otra vez, en una secuencia de pasos recursivos. En cada paso, el objeto inicial ( input ) puede ser una figura simple (una curva poligonal, por ejemplo) y el resultado ( output ) es una modificación de esa forma. A continuación presentamos un método para construir fractales con GeoGebra clásico. Para esto necesitaremos los siguientes comandos: Punto() Segmento() Secuencia() Elemento() Encadena() Longitud() Por supuesto, supondremos que tienes un conocimiento básico del programa. Si aún no lo conoces, te recomiendo el Tutorial GeoGebra donde puedes aprender los elementos básicos de GeoGebra clásico. Tampoco es necesario explicar aquí cada uno de los comandos mencionados arriba. Sin embargo, si deseas conocer los detalles de cada comando entonces consulta: Comandos GeoGebra. El conjunto de Cantor con GeoGebra Comencemos con el ejemplo más conocido: el conjunto de Cantor. Iniciamos nues...

EL TEOREMA CANTOR-SCHRODER-BERNSTEIN EN TOPOLOGIA by Juancarlos Ponce on Scribd

Unas palabras sobre espacios compactos

De Miguel A. Maldonado - mayo 28, 2017

En una entrada previa mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos. Introducción Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos: - En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo . - Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo . - La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito - La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto ...

Ejercicio de Topología

De Miguel A. Maldonado - abril 23, 2017

Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$ Pruebe que $p$ es función continua. Solución . Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.

El espacio de Arens-Fort

De Miguel A. Maldonado - marzo 24, 2017

Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio. Definición Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$ Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\...

Invitación a la Topología (parte II)

De Miguel A. Maldonado - enero 26, 2017

Como se mencionó previamente , es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico. Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales: Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$. Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia. Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir, ...

Invitación a la Topología (parte I)

De Miguel A. Maldonado - enero 26, 2017

La continuidad de una función es uno de los conceptos más importantes y fascinantes de las matemáticas y, contrario a lo que todos pensamos la primera vez que vimos su definición, puede establecerse en términos muy simples: un función $f$ es continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz de la hoja; es decir, que la gráfica de $f$ no tiene cortes o brincos; véase la figura de abajo donde se muestra la gráfica de una función que ``brinca'' en el origen La descripción anterior es ilustrativa pero es complicado usarla en casos como el de la función $f(x)=\begin{cases}x\sin (1/x),&x\neq0\\0,&x=0 \end{cases},$ cuya gráfica se muestra abajo En términos geométricos, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ siempre que puntos cercanos a $x_0$ tengan imágenes muy cercanas a $f(x_0)$. Pero, ¿qué significa estar cerca?, ¿qué distan...

Compactificación de Alexandroff

De Miguel A. Maldonado - diciembre 13, 2016

Como es sabido, el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ no es compacto a pesar de contener muchos compactos (de hecho tiene tantos que es localmente compacto). En esta breve entrada veremos que a $\mathbb{R}^n$ no le hace falta mucho para ser compacto, basta añadirle un punto ajeno a él. Sean $(X,\tau)$ espacio Hausdorff, localmente compacto, no compacto y $\infty$ un elemento que no pertenezca a $X$. Consideremos $\tilde{X}=X\sqcup \{\infty\}$ y definimos la colección $\tau'=\{A | A\in \tau\}\cup\{(X\backslash K) \cup \{\infty\} | K\subset X\;\mbox{compacto} \}$ La familia $\tau'$ es una topología y el espacio topológico $(\tilde{X},\tau')$ es llamado la compactificación (unipuntual) de $X$ ; el espacio $\tilde{X}$ está determinado de manera única salvo homeomorfismo. Las principales propiedades de $\tilde{X}$, y la justificación del nombre, están dadas en el siguiente resultado demostrado por P.S. Alexandroff...

Dos ejercicios de Topología General

De Miguel A. Maldonado - noviembre 19, 2016

1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$. Solución . Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$ $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$ De las relaciones anteriores se sigue que $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$ ...

Dos ejercicios de Topología General

De Miguel A. Maldonado - septiembre 25, 2016

1 .- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por $\tau=\{U\subset X\: |\: 0\notin U\;\; ó\;\; (-1,1)\subset U\}$ Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados. Solución . Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$. Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$. (i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$. Tomemos aho...

Sobre la infinidad de números primos

De Miguel A. Maldonado - enero 26, 2016

Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son él mismo y el $1$. La existencia de los números primos es de gran importancia ya que el Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero $n>1$ es un primo o es un producto de primos; además, la factorización en producto de primos es única salvo orden de los primos. En la presente nota daremos una prueba topológica de que existe una cantidad infinita de números primos. Para mostrar el resultado repasaremos algunos conceptos y resultados elementales de topología. Preliminares topológicos En una nota anterior hablamos sobre los abiertos de una topología, con lo cual podemos definir: un cerrado es aquel subespacio cuyo complemento es abierto. Algo que no se dijo en esa cómo generar una topología; aquí una forma: dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mathcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto puede ser expresado como unión de elementos de $\mathcal{B}$. La c...

Todo conjunto es compacto y Hausdorff

De Miguel A. Maldonado - enero 20, 2016

La compacidad de un espacio $X$ es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre $X$ (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de $\mathbb{R}^n$, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí la información. Por otro lado, el que un espacio $X$ sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de $X$ es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma $\{x\}$ son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en $X$, lo cual es algo que siempre se quiere tener. En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto $X$ siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topol...

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