Unas palabras sobre espacios compactos

En una entrada previa mencionamos brevemente la definición de espacio compacto. En los párrafos de abajo ahondaremos en dicha definición, dando algunos ejemplos y contra ejemplos de espacios compactos.

Introducción

Algunos resultados de naturaleza aritmética o relativos a la Teoría de conjuntos son claramente válidos para conjuntos finitos pero no lo son para conjuntos infinitos; por citar algunos:

- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito


El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [1] para un recuento de la historia de compacidad.

Compacidad

Una cubierta para $X$ es una colección de conjuntos $\mathcal{A}=\{U_i\}_{i\in I}$ cuya unión contiene a $X$. Una subcubierta de $\mathcal{A}$ es una colección $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ tal que $\mathcal{B}$ es también una cubierta para $X$. Diversos tipos de cubiertas surgen a considerar alguna particularidad en sus elementos: una cubierta es llamada abierta si sus elementos son conjuntos abiertos de $X$; de igual manera, una cubierta es cerrada si sus elementos son cerrados. A continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 1. Para cualquier espacio topológico, $\{X\},\;\{X,\emptyset\}$ son cubiertas abiertas para $X$. Por otro lado, si $X$ tiene la topología discreta, entonces la colección $\{\{x\} | x\in X\}$ forma una cubierta abierta para $X$.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 2. Para $k> 0$ consideramos el intervalo $(x-k,x+k)$. La colección
                       
                                     $ \mathcal{A}=\{(x-k,x+k)| \;x\in \mathbb{R}\}$

es una cubierta abierta para $\mathbb{R}$.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 3. Si $X$ es espacio métrico, la colección de bolas abiertas $\{B_\epsilon(x) |\;x\in X\}$, con $\epsilon >0$, es una cubierta abierta para $X$.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 4. Notemos que $\mathcal{A}=\{(-n,n) | n\in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta para  la recta real $\mathbb{R}$.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 5. La colección $\{[0,1/2], [1/2,1]\}$ es una cubierta cerrada para el intervalo $[0,1]$. $\blacktriangleleft$

En los ejemplos mostrados arriba queda claro que no es tan difícil hallar cubiertas abiertas (o cerradas) para un espacio topológico $X$ dado. Lo que también queda evidente es que algunas contienen más elementos que otras por lo que surge una pregunta interesante: ¿es posible, dada una cubierta para $X$, reducir el número de elementos con los que podamos cubrir a $X$? En el Ejemplo 5 queda claro que eso no es posible siempre pues la cubierta dada sólo tiene dos elementos y al quitar alguno de ellos ya no se cubriría a todo el intervalo $[0,1]$.


Decimos que un espacio $X$ es compacto  si toda cubierta abierta para él tiene una subcubierta finita; es decir, un espacio es compacto si de cualquier cubierta abierta podemos extraer una cantidad finita de elementos que sigan cubriendo al espacio en cuestión. A continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 6.- Tomemos $S=\{x_1,\ldots,x_s\}$ conjunto finito y sea $\mathcal{A}$ cualquier cubierta abierta para $S$. Por definición de cubierta, para cada $i$, podemos tomar $A_i\in \mathcal{A}$ tal que $x_i\in A_i$; así que

                                                $\{x_1,\ldots,x_s\}\subset \bigcup_{i=1}^s A_i$

por lo que en este caso sí existe subcubierta finita y por tanto $S$ es compacto.$\blacktriangleleft$

El ejemplos anterior muestra que todo conjunto finito es compacto independientemente de la topología que tenga.

Ejemplo 7.- Consideremos el conjunto de números reales dado por $X=\{0\} \cup \{1/n | n\in \mathbb{N}\}$. Si $\mathcal{A}$ es una cubierta abierta para $X$ existe $U\in \mathcal{A}$ que contiene a $0$ y a los puntos $\{1/n \}$, excepto por una cantidad finita de ellos; escojamos un elemento de $\mathcal{A}$ por cada uno de estos elementos que no se encuentren en $X$. La colección de estos abiertos y de $U$ forman una subcubierta finita de $\mathcal{A}$ para $X$, mostrando que $X$ es compacto.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 8.- Un espacio topológico discreto es compacto si, y sólo si, es finito pues basta recordar que en un espacio discreto la colección $\{\{x\} | x\in X\}$ forma una cubierta finita.$\blacktriangleleft$

La compacidad de un espacio $X$ se hereda a subconjuntos cerrados pues si $Y\subset X$ es cerrado y $\mathcal{A}$ es cubierta abierta de $Y$, entonces $\mathcal{A}\cup\{X\backslash Y\}$ es una cubierta abierta de $X$. Por ser compacto $A_1,\ldots,A_n\in \mathcal{A}$ tales que

                                                 $X=(X\backslash Y)\cup A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$

De aquí se tiene que $Y\subset A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$ y por tanto $Y$ es compacto.

Observemos que, por negación, un espacio no es compacto si existe una cubierta abierta para él de la que no puede extraerse una subcubierta finita.

Ejemplo 9.- Cualquier espacio discreto infinito $X$ no es compacto pues la cubierta abierta $\{\{x\} | x\in X\}$ no puede tener una subcubierta finita.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 10.- Para $n>0$, el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ no es compacto: notemos que es posible cubrir a $\mathbb{R}^n$ con bolas abiertas

   
                                                 $\mathbb{R}^n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} B_n(0)$

Si existiera una cubierta finita, entonces existen $n_1,\ldots,n_k\in \mathbb{N}$ tales que

                                 $\mathbb{R}^n=\bigcup_{i=1}^k B_{n_i}(0)= B_{m}(0)$

donde $m=\max\{n_1,\ldots, n_k\}$, lo cual no es posible.$\blacktriangleleft$

En general, para determinar que un espacio no es compacto deberíamos dar una cubierta abierta que no tenga una subcubierta finita, lo cual no siempre es fácil de obtener. A continuación presentamos un criterio para la no compacidad de un espacio:

Lema. Si un espacio $X$ contiene un subconjunto infinito, cerrado y discreto, entonces $X$ no es compacto.

Dem Supongamos que $X$ es compacto y sea $A$ infinito, cerrado y discreto. Por la observación hechas después del Ejemplo 8 tenemos que $A$ es compacto. Por otro lado, recordemos (Ejemplo 6 arriba) que todo subespacio discreto y compacto es finito; así, $A$ es finito, lo cual no puede ser. Luego, $X$ no es compacto. $\blacksquare$

Nota final

El Ejemplo 6 de arriba muestra que todo conjunto finito es compacto y este hecho confirma la afirmación hecha en la introducción a entrada: la propiedad de ser compacto generaliza la propiedad de ser finito. En una entrada futura hablaremos sobre las otras afirmaciones hechas al principio de esta entrada.

Referencias

[1] M. Raman-Sundstrom, A pedagogical history of compactness, 2014. Disponible en arXiv:1006.4131