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Mostrando las entradas de octubre, 2019

¿Cómo se genera el Conjunto de Mandelbrot?

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IntroductionEsencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c $,…

El Monstruo del Lago Ness: Espirales con series de números complejos

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IntroducciónEn Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente.
Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma
$$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$
donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas.
Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es la siguiente:



Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar la forma del gr…

(Pequeña) Nota sobre homología con coeficientes

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