¿Cómo se genera el Conjunto de Mandelbrot?
Introduction
Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero.
El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c $, ha sido duplicado por decenas de miles de científicos aficionados de todo el mundo.
$$z_{n + 1} = z_n^2 + z_0$$
para obtener una secuencia de números complejos $z_n$ con $n = 0,1,2, \ldots$. Se dice que los puntos $z_n$ forman la órbita de $z_0$, y el conjunto de Mandelbrot, denotado por $M$, se define de la siguiente manera:
Si la órbita $z_n$ no llega al infinito, decimos que $z_0$ está contenido dentro del conjunto $M$. Si la órbita $z_n$ llega al infinito, decimos que el punto $z_0$ está fuera de M.
Tomemos por ejemplo $z_0=1$, entonces
\[
\begin{array}{rcl}
%\hline
%\text{ } & z_{n+1}=z_{n}^2+z_0 \\
%\hline
z_0 &=& 1 \\
%\hline
z_1 &=& 1^2 + 1 = 2 \\
%\hline
z_2 &=& 2^2 + 1 = 5\\
%\hline
z_3 &=& 5^2 + 1 = 26 \\
%\hline
z_4 &=& 26^2 + 1 = 677 \\
%\hline
&\vdots&
\end{array}
\]
Como se puede observar, $z_n$ sigue creciendo cada vez más. Por lo tanto, $z_0 =1$ no pertenece al Conjunto de Mandelbrot. Pero si elegimos valores diferentes para $z_0$, este no siempre será el caso. Consideremos ahora el valor $ z_0 = i $. De esta manera obtenemos:
\[
\begin{array}{rcl}
%\hline
% \text{ } &=& z_{n+1}=z_{n}^2+z_0 \\
%\hline
z_0 &=& i \\
%\hline
z_1 &=& i^2 + i = -1 + i \\
%\hline
z_2 &=& (-1+i)^2 + i = -2i+i = -i\\
%\hline
z_3 &=& (-i)^2 + i = -1+i \\
%\hline
z_4 &=& (-1+i)^2 + i = -i \\
%\hline
&\vdots&
\end{array}
\]
Está claro que en este caso las iteraciones adicionales solo repetirán los valores $−1 + i$ y $−i$. Todos estos números complejos se encuentran cerca del origen, a una distancia no mayor que 3. Es decir, se quedan en un subconjunto acotado del plano complejo; no tienden a infinito. Entonces el número $z_0 = i$ pertenece al Conjunto de Mandelbrot.
Es muy divertido calcular elementos del Conjunto de Mandelbrot y trazarlos. El conjunto resultante es infinitamente complicado. Y para este propósito podemos usar el poder de la computadora. En el applet de abajo se define un punto $ z_0 $ en el plano complejo. Como la computadora no puede manejar el infinito, será suficiente calcular 500 iteraciones y usar el número $ 10 ^ 8 $ (en lugar de infinito) para generar el conjunto de Mandelbrot:
Si la órbita $ z_n $ está fuera de un disco de radio $ 10 ^ 8 $, entonces $ z_0 $ no pertenece al Conjunto de Mandelbrot y su color será BLANCO. Si la órbita $ z_n $ dentro de ese disco, $ z_0 $ pertenece al conjunto de Mandelbrot y su color será NEGRO.
Puedes explorar las órbitas de iteración en el siguiente applet. Observa su comportamiento mientras mueves el punto. Activa la Traza para dibujar el conjunto de Mandelbrot o arrastra el control deslizante.
En el applet anterior se traza con un solo punto el Conjunto de Mandelbrot. Este método no es muy preciso y lleva mucho tiempo. Sin embargo, es posible trazarlo considerando una región particular de píxeles en la pantalla. El algoritmo más simple para generar una representación del Conjunto de Mandelbrot se conoce como algoritmo de tiempo de escape. Se realiza un cálculo repetitivo para cada punto $x$, $y$ en el área de trazado y, en función del comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.
Explora el Conjunto de Mandelbrot en el siguiente applet:
Construcción del Conjunto de Mandelbrot
Así es como se construye el conjunto de Mandelbrot. Tomemos un punto de partida $z_0$ en el plano complejo. Luego usamos la ecuación de recurrencia cuadrática$$z_{n + 1} = z_n^2 + z_0$$
para obtener una secuencia de números complejos $z_n$ con $n = 0,1,2, \ldots$. Se dice que los puntos $z_n$ forman la órbita de $z_0$, y el conjunto de Mandelbrot, denotado por $M$, se define de la siguiente manera:
Si la órbita $z_n$ no llega al infinito, decimos que $z_0$ está contenido dentro del conjunto $M$. Si la órbita $z_n$ llega al infinito, decimos que el punto $z_0$ está fuera de M.
Tomemos por ejemplo $z_0=1$, entonces
\[
\begin{array}{rcl}
%\hline
%\text{ } & z_{n+1}=z_{n}^2+z_0 \\
%\hline
z_0 &=& 1 \\
%\hline
z_1 &=& 1^2 + 1 = 2 \\
%\hline
z_2 &=& 2^2 + 1 = 5\\
%\hline
z_3 &=& 5^2 + 1 = 26 \\
%\hline
z_4 &=& 26^2 + 1 = 677 \\
%\hline
&\vdots&
\end{array}
\]
Como se puede observar, $z_n$ sigue creciendo cada vez más. Por lo tanto, $z_0 =1$ no pertenece al Conjunto de Mandelbrot. Pero si elegimos valores diferentes para $z_0$, este no siempre será el caso. Consideremos ahora el valor $ z_0 = i $. De esta manera obtenemos:
\[
\begin{array}{rcl}
%\hline
% \text{ } &=& z_{n+1}=z_{n}^2+z_0 \\
%\hline
z_0 &=& i \\
%\hline
z_1 &=& i^2 + i = -1 + i \\
%\hline
z_2 &=& (-1+i)^2 + i = -2i+i = -i\\
%\hline
z_3 &=& (-i)^2 + i = -1+i \\
%\hline
z_4 &=& (-1+i)^2 + i = -i \\
%\hline
&\vdots&
\end{array}
\]
Está claro que en este caso las iteraciones adicionales solo repetirán los valores $−1 + i$ y $−i$. Todos estos números complejos se encuentran cerca del origen, a una distancia no mayor que 3. Es decir, se quedan en un subconjunto acotado del plano complejo; no tienden a infinito. Entonces el número $z_0 = i$ pertenece al Conjunto de Mandelbrot.
Es muy divertido calcular elementos del Conjunto de Mandelbrot y trazarlos. El conjunto resultante es infinitamente complicado. Y para este propósito podemos usar el poder de la computadora. En el applet de abajo se define un punto $ z_0 $ en el plano complejo. Como la computadora no puede manejar el infinito, será suficiente calcular 500 iteraciones y usar el número $ 10 ^ 8 $ (en lugar de infinito) para generar el conjunto de Mandelbrot:
Si la órbita $ z_n $ está fuera de un disco de radio $ 10 ^ 8 $, entonces $ z_0 $ no pertenece al Conjunto de Mandelbrot y su color será BLANCO. Si la órbita $ z_n $ dentro de ese disco, $ z_0 $ pertenece al conjunto de Mandelbrot y su color será NEGRO.
Puedes explorar las órbitas de iteración en el siguiente applet. Observa su comportamiento mientras mueves el punto. Activa la Traza para dibujar el conjunto de Mandelbrot o arrastra el control deslizante.
En el applet anterior se traza con un solo punto el Conjunto de Mandelbrot. Este método no es muy preciso y lleva mucho tiempo. Sin embargo, es posible trazarlo considerando una región particular de píxeles en la pantalla. El algoritmo más simple para generar una representación del Conjunto de Mandelbrot se conoce como algoritmo de tiempo de escape. Se realiza un cálculo repetitivo para cada punto $x$, $y$ en el área de trazado y, en función del comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.
Explora el Conjunto de Mandelbrot en el siguiente applet:
Recomendaciones de lectura
El conjunto de Mandelbrot ha sido ampliamente estudiado y no pretendo cubrir todas sus fascinantes propiedades aquí. Pero si deseas obtener más detalles, te recomiendo que consultes los trabajos de B. B. Mandelbrot:- The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman, 1983.
- Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and Beyond. New York: Springer-Verlang, 2004.
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