El Monstruo del Lago Ness: Espirales con series de números complejos

De Carlos Ponce - octubre 12, 2019

Introducción

En Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente.

Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma
$$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$
donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas.

Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas

Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es el siguiente:

Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar la forma del gráfico, concentrémonos en el ángulo entre segmentos de línea sucesivos. Estamos midiendo ángulos en círculos completos: es decir, $\frac{1}{4}$ representa un ángulo recto, $\frac{1}{2}$ representa un ángulo de 180°, y así sucesivamente. Los "cúmulos" (es decir, las secciones donde se forman aglomeraciones de espirales) en el Monstruo del Lago Ness ocurren cuando el ángulo entre el segmento $n$ y $(n+1)$ es casi un entero más un medio para varios valores de $n$ consecutivos, por lo cual los segmentos de línea (los cuales tienen la misma longitud) se "doblan" uno sobre el otro. En consecuencia, las partes "suaves" corresponden a valores de $n$ donde el ángulo es cercano a un entero, por lo que la curva mantiene sustancialmente la misma dirección durante un tiempo.

Para comprender mejor lo anterior mencionado, notemos que el ángulo entre el $n$-ésimo y el $(n+1)$-ésimo segmento de línea es $f(n+1)-f(n)$, lo cual corresponde aproximadamente a la derivada de
$$f'(n)=\frac{4(\ln n)^3}{n}.$$
Este valor tiende a cero cuando $n \rightarrow \infty$, y en algunas ocasiones toma los valores cercanos a $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$ y así sucesivamente. De hecho, el último "cúmulo" que se aprecia en la parte inferior del gráfico resulta del hecho de que $f'(n)\approx \frac{1}{2}$ cuando $n$ es 2100; el anterior "cúmulo" resulta del hecho de que $f'(n)\approx \frac{3}{2}$ y así sucesivamente. ¿Puedes identificar los "cúmulos" donde $f'(n)\approx 1$ o $f'(n)\approx 2$?

Los diferentes tipos de funciones $f(n)$ proporcionan gráficos muy diferentes y es posible que no tengan "cúmulos" particularmente notables. Si es un polinomio, los gráficos a menudo (aunque no siempre) muestran una hermosa simetría, combinada con un nivel fascinante de detalles finos. Tomando, por ejemplo, la cúbica
\[f(n)= \frac{n}{11} + \frac{n^2}{21} + \frac{n^3}{31},\]
obtenemos la siguiente gráfica encantadora con $N=7400$.

Da clic en la imagen para verla con detalle.

Esta última expresión quizá no tenga alguna utilidad o aplicación en algún campo (al menos todavía no conozco alguna), pero definitivamente puede ser apreciada por su simetría y características artísticas.

De hecho podemos divertirnos más usando otras funciones $f(n)$ y agregando colores diferentes, como puedes apreciar en las siguiente imagenes:

Todas las imágenes anteriores fueron hechas con GeoGebra y puedes revisar la construcción con detalles completos para hacer tus propias versiones en el siguiente enlace:

https://www.geogebra.org/m/cdqgfcyz

Las siguientes fueron hechas con JavaScript:

Pero si prefieres, puedes utilizar la siguiente herramienta en línea para hacer el gráfico que desees, desarrollado por el experto (mago) de la programación Andrei Kashcha @anvaka.

Clic aquí para abrir en pantalla completa