Bestiario Topológico

Fuente Original: A Step-by-step of the Analytic Continuation of the Riemann Zeta Function Author: Desvl Traducción: Juan Carlos Ponce Campuzano Introduction La función zeta de Riemann es ampliamente conocida (por ser la continuación analítica de la función zeta de Euler): \[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.\] Es ampliamente conocida principalmente por la célebre hipótesis de Riemann, que permanece sin resolver tras más de un siglo de intentos por parte de matemáticos y 150 millones de intentos por computadoras: Hipótesis de Riemann: Los ceros no triviales de $\zeta(s)$ se encuentran en la línea $\Re(s)=\frac{1}{2}.$ Nota: $\Re(s)$ = parte real de $s = x+iy.$ Figura 1 :  Dominio coloreado de la función gamma $\zeta(z)$ El público conoce a través de la divulgación científica cuán importante y misteriosa es esta hipótesis, o cuán desastroso sería si algún día se resolviera. Dejemos eso de lado. La pregunta es, ¿por...

Introducción En 2008 Santiago Ginnobili y Christián C. Carman publicaron un ejemplo de un sistema de epiciclos trazando una órbita formando la figura del famoso personaje de caricaturas, Homero Simpson. En ese mismo año Santiago Ginnobili publicó en su canal de YouTube la animación de dicha órbita: Desde entonces, esta animación ha causado admiración y revuelo en las redes sociales, en particular en las comunidades interesadas en las matemáticas, e incluso muchas personas han realizados sus propias versiones. Aquí surgen varias preguntas. ¿Cómo se calculan los radios de cada uno de los círculos? ¿Cómo se calculan las velocidades de rotación de cada epiciclo? En general, ¿cómo Santiago Ginnobili y Christián C. Carman lograron hacer esta animación? En realidad detrás de esta construcción se encuentra escondida la Transformada Discreta de Fourier (TDF), lo cual he mencionado en una entrada anterior ( Dibujando curvas cerradas con epiciclos ) pero no...

Introduction Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c ...

Introducción En Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente. Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma $$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$ donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas. Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es el siguiente: Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar...

Las siguientes imágenes fueron creadas con GeoGebra. Applets interactivos se pueden encontrar en el siguiente enlace: Español - Dominio coloreado Inglés -  Domain coloring Las versiones en línea son un poco lentas, por lo que recomiendo descargarlos a tu computadora. Para ello usa el enlace: Español - Descarga applets Inglés -  Download applets El método usado para crear todas las imágenes se explica en el siguiente artículo: Representación de funciones complejas con GeoGebra usando el método de dominio coloreado Esquema HSL: $z$ $z+1/z$ $1/z$ $z^{1/2}$ $z^6+1$ $(z-1)/(z^2+z+1)$ Esquema HSV con retrato de fase, curvas de nivel del módulo y fase de la función $(z-1)/(z^2+z+1)$: Retrato de fase simple Retrato de fase con curvas de nivel del módulo $|f|$ Retrato de fase con curvas de nivel de $\text{Arg}(f(z))$ Retrato de fase combinado ...