Las ecuaciones de Navier–Stokes: el Problema del Milenio que la IA podría haber resuelto

De -

Introducción

Las ecuaciones de Navier–Stokes están dadas por

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, \qquad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 \]

y se consideran unas de las ecuaciones más importantes y, al mismo tiempo, más formidables de la física. Su principal objetivo es describir cómo se mueve un fluido en una enorme variedad de situaciones. Sin embargo, detrás de esta elegante formulación se encuentra una profunda incertidumbre. El término

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u} \right) \]

contiene uno de los elementos fundamentales que pueden dar lugar a la turbulencia, uno de los fenómenos más complejos y elusivos de la física.

La turbulencia presenta una enorme complejidad y dificulta la obtención de soluciones analíticas para las ecuaciones de Navier–Stokes en situaciones generales. Sin embargo, podemos utilizar estas ecuaciones para realizar cálculos numéricos y construir simulaciones del movimiento de los fluidos, lo que nos permite estudiar su comportamiento en una gran variedad de escenarios. Aunque hemos tenido un éxito considerable en el uso de métodos numéricos para aproximar soluciones, los matemáticos todavía no han podido demostrar algo aparentemente más sencillo: que, en tres dimensiones, las soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes permanecen suaves y bien comportadas para todo tiempo, o si, por el contrario, pueden desarrollar una singularidad en tiempo finito.

Este desafío se convirtió en uno de los siete Problemas del Milenio, establecidos por el Clay Mathematics Institute, con un premio de un millón de dólares para la solución de cada uno de ellos.

Con la reciente publicación de una prueba impulsada por Inteligencia Artificial (IA), es posible que el problema del milenio relacionado con las ecuaciones de Navier–Stokes haya dado un nuevo paso hacia su resolución, o que al menos se haya avanzado en una parte importante del problema. En este contexto, podemos preguntarnos:

  • ¿Por qué las ecuaciones de Navier–Stokes siguen siendo uno de los problemas más difíciles de las matemáticas y la física?
  • ¿Cómo cambia una nueva prueba impulsada por inteligencia artificial nuestra comprensión del movimiento de los fluidos y, más ampliamente, nuestra concepción del papel de los matemáticos en la demostración y el descubrimiento matemático?

De Euler a Navier–Stokes

Setenta años después de que Newton transformara la física con sus leyes del movimiento, el matemático suizo Leonhard Euler aplicó las leyes de Newton al estudio del movimiento de los fluidos. Euler reconoció que los fluidos, al igual que los sólidos, debían obedecer la segunda ley de Newton, \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\). Sin embargo, los fluidos no son cuerpos rígidos: se mueven, fluyen y se deforman continuamente. Describirlos, por lo tanto, exige una perspectiva diferente.

Euler imaginó el fluido como un conjunto continuo que puede dividirse en una gran cantidad de volúmenes extremadamente pequeños. En cada punto del espacio podemos asociar al fluido un vector velocidad. El conjunto de todas estas velocidades forma un campo vectorial, es decir, una representación instantánea del movimiento del fluido. Al estudiar cómo este campo vectorial evoluciona en el tiempo, podemos describir y predecir el movimiento del fluido.

Figura: Simulación simple de fluido con su campo vectorial.

Euler capturó estas ideas mediante dos ecuaciones fundamentales. La primera surge de la conservación de la masa. Para un fluido incompresible, la cantidad de fluido que entra en un volumen debe compensar la cantidad que sale de él. Matemáticamente, esto significa que la divergencia del campo de velocidades debe ser cero:

\[ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. \]

La segunda ecuación se obtiene aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del fluido. En lugar de seguir una partícula material individual, podemos describir el cambio de velocidad del fluido desde un punto fijo del espacio. Para ello, Euler introdujo lo que hoy llamamos la derivada material:

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}. \]

Esta derivada representa la tasa de cambio de la velocidad experimentada por una partícula de fluido mientras se desplaza con el flujo.

Por lo tanto, la expresión correspondiente a la segunda ley de Newton para un fluido puede escribirse, por unidad de volumen, como

\[ m\mathbf{a} \quad\longmapsto\quad \rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt}, \]

donde \(\rho\) es la densidad del fluido.

Del otro lado de la ecuación aparecen las fuerzas que actúan sobre el fluido. La presión ejerce una fuerza proporcional a su gradiente, mientras que \(\mathbf{f}\) representa otras fuerzas externas, como la gravedad:

\[ \mathbf{F} \quad\longmapsto\quad -\nabla p + \mathbf{f}. \]

Aquí, \(p\) representa la presión y el signo negativo indica que la fuerza debida a la presión apunta hacia regiones de menor presión.

Esto produce las ecuaciones de Euler para un fluido incompresible:

\[ \underbrace{\nabla \cdot \mathbf{u}=0}_{\substack{\text{Conservación}\\\text{de masa}}}, \qquad \rho \underbrace{\left( \frac{D\mathbf{u}}{Dt} \right)}_{\substack{\text{Cambio de}\\\text{velocidad de}\\\text{una partícula}}} = \overbrace{-\nabla p}^{\text{Presión}} + \underbrace{\mathbf{f}}_{\substack{\text{Fuerzas}\\\text{externas}}}. \]

Con estas ecuaciones, Euler estableció una de las bases matemáticas de la mecánica de fluidos, el estudio de cómo se mueven líquidos y gases (Euler, 1757). Incluso hoy en día, las ecuaciones de Euler son una aproximación fundamental para describir flujos en los que los efectos viscosos pueden despreciarse.

Figura: Simulación simple de fluido con obstaculo circular.

Sin embargo, existe una característica esencial de los fluidos reales que estas ecuaciones no pueden capturar: la viscosidad.

Introducción de la viscosidad

Durante casi un siglo, matemáticos y físicos buscaron el ingrediente que faltaba para describir de manera más completa el movimiento de los fluidos reales. En 1822, el ingeniero y matemático francés Claude-Louis Navier propuso una idea audaz: ¿y si los fluidos poseyeran una forma de fricción interna? Su intuición era prometedora, aunque su formulación todavía presentaba importantes dificultades (Navier, 1827). En 1845, el físico matemático irlandés George Gabriel Stokes retomó el problema y desarrolló una formulación más rigurosa de las fuerzas internas que actúan en un fluido (Stokes, 1845). Estos trabajos condujeron a la incorporación del ingrediente que faltaba: la viscosidad, una propiedad que caracteriza la resistencia de un fluido a deformarse y fluir.

Para un fluido newtoniano, incompresible y con viscosidad constante, esta fuerza viscosa puede escribirse de forma sencilla como

\[ \rho\left(\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\right) = \overbrace{-\nabla p + \mathbf{f} + \underbrace{\mu\nabla^2\mathbf{u}}_{\text{Viscosidad}}} ^{\text{Fuerzas que actúan sobre el fluido}}. \]

El término viscoso \(\mu\nabla^2\mathbf{u}\) representa los efectos de la fricción interna entre regiones del fluido que se mueven a diferentes velocidades. El coeficiente \(\mu\), llamado viscosidad dinámica, mide la resistencia interna del fluido a la deformación: es relativamente alto para fluidos como la miel y mucho menor para el agua o el aire. El operador \(\nabla^2\), llamado laplaciano, describe cómo cambia localmente el campo de velocidades con respecto a las regiones vecinas. En términos intuitivos, cuanto mayor sea la variación espacial de la velocidad, mayor será el efecto de la viscosidad sobre el movimiento del fluido.

Figura: Simulación de líquidos con diferentes viscosidades. El líquido de la derecha tiene una viscosidad mayor que el líquido de la izquierda. Fuente: Wikipedia

Al incluir este término llegamos a las modernas ecuaciones de Navier–Stokes:

\[ \rho\left(\frac{D\mathbf{u}}{Dt}\right) = -\nabla p +\mathbf{f} +\mu\nabla^2\mathbf{u}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{u}=0. \]

Esta es una forma simplificada de las ecuaciones para fluidos incompresibles, es decir, aquellos cuya densidad puede considerarse constante. Bajo estas condiciones, las ecuaciones de Navier–Stokes proporcionan un modelo extraordinariamente eficaz para describir el movimiento de una enorme variedad de fluidos reales.

Sin embargo, aquí aparece una paradoja. Las ecuaciones son conocidas desde hace más de un siglo y se utilizan habitualmente para realizar predicciones y simulaciones numéricas. Entonces, ¿por qué siguen planteando un desafío matemático tan profundo?

Por qué la turbulencia hace difíciles las ecuaciones

La respuesta está, en buena medida, en la turbulencia, uno de los fenómenos más complejos e impredecibles de la física. Imagina un río que fluye suavemente: el agua puede desplazarse de manera relativamente ordenada, con velocidades que cambian poco de un punto a otro. Pero cuando el flujo se vuelve turbulento, aparecen remolinos y estructuras de diferentes tamaños. Un remolino puede interactuar con otros, deformarse y transferir energía a estructuras cada vez más pequeñas, creando una compleja cascada de movimiento que se extiende a través de muchas escalas. Esto es lo que llamamos flujo turbulento.

Figura: Simulación de fluido creada por Amanda Ghassaei

Para comprender por qué la turbulencia representa un desafío para las ecuaciones de Navier–Stokes, debemos examinar nuevamente la derivada material, definida como

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}. \]

Esta expresión representa la aceleración de una partícula de fluido a medida que se desplaza con el flujo. El primer término,

\[ \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}, \]

describe cómo cambia la velocidad con el tiempo en un punto fijo del espacio. Sin embargo, una partícula de fluido no permanece en ese punto. A medida que se desplaza, puede encontrarse con regiones donde la velocidad es diferente. Para describir este efecto necesitamos el segundo término, conocido como término convectivo:

\[ (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}. \]

Este término describe cómo cambia la velocidad que experimenta una partícula debido a su movimiento a través de un campo de velocidades que varía espacialmente. Para calcularlo, primero necesitamos conocer cómo cambia el campo de velocidad de un punto a otro mediante sus derivadas espaciales. Luego, esas variaciones se combinan en la dirección del movimiento de la partícula. En otras palabras, el operador

\[ \mathbf{u}\cdot\nabla \]

indica cómo recorrer el campo de velocidades siguiendo la dirección determinada por \(\mathbf{u}\).

Podemos visualizar esta idea imaginando que viajamos en un globo aerostático dentro de una corriente de aire. La velocidad que experimentamos no depende únicamente de cómo cambia el viento con el tiempo en nuestra posición, sino también de cómo cambia el viento de un lugar a otro mientras nos desplazamos. Nuestra propia velocidad determina qué regiones del campo de velocidades encontramos, y esas variaciones, a su vez, determinan nuestra aceleración.

Aquí aparece una característica fundamental de las ecuaciones de Navier–Stokes: son no lineales. La velocidad \(\mathbf{u}\) aparece tanto en el campo que estamos siguiendo como en el operador que determina cómo seguimos ese campo:

\[ (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}. \]

Esta no linealidad permite que pequeñas variaciones en el flujo interactúen y se amplifiquen, dando lugar a comportamientos extremadamente complejos. En determinados regímenes, estas interacciones pueden producir turbulencia, en la que estructuras de diferentes escalas interactúan continuamente.

La complejidad aumenta todavía más cuando intentamos calcular el movimiento de un fluido mediante métodos numéricos. El dominio se divide en una gran cantidad de celdas o puntos de una malla y, en cada paso temporal, se aproxima la velocidad, la presión y otras cantidades relevantes. Cuanto más fina sea la malla y mayor sea el número de escalas que queramos resolver, mayor será el costo computacional. En flujos turbulentos, además, pueden aparecer estructuras cada vez más pequeñas que deben resolverse adecuadamente para obtener una descripción precisa del movimiento.

Las simulaciones numéricas nos permiten estudiar estos fenómenos con un detalle extraordinario, pero producen aproximaciones y dependen de la resolución de la malla, del método numérico y de los recursos computacionales disponibles. Sin embargo, existe una pregunta que va mucho más allá de cuánto poder de cómputo tenemos:

¿Podemos demostrar matemáticamente que las soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes permanecen suaves para todo tiempo?

Esta es la pregunta que nos lleva al corazón del Problema del Milenio.

La pregunta del Premio del Milenio

En un flujo turbulento, la energía cinética puede transferirse entre estructuras de diferentes escalas. En la imagen clásica de la cascada turbulenta, la energía se transfiere, en promedio, desde estructuras de mayor escala hacia estructuras progresivamente más pequeñas, donde finalmente puede ser disipada en forma de calor por la acción de la viscosidad.

Sin embargo, las ecuaciones de Navier–Stokes permiten una dinámica mucho más compleja: las interacciones no lineales pueden concentrar la actividad del flujo en escalas espaciales cada vez menores. La pregunta fundamental es si esta concentración puede continuar indefinidamente y producir una singularidad en un tiempo finito.

En términos matemáticos, el problema es determinar si una solución que comienza siendo suave puede dejar de serlo en algún instante posterior. Una singularidad podría manifestarse, por ejemplo, mediante el crecimiento sin límite de alguna cantidad asociada al campo de velocidades o a sus derivadas. Si esto ocurriera, las ecuaciones seguirían estando formalmente definidas, pero la solución dejaría de ser suave y el modelo ya no tendría el comportamiento regular que esperamos de una solución clásica.

Este es el núcleo del Problema del Milenio de Navier–Stokes: demostrar que, para datos iniciales suaves y apropiados, las ecuaciones tridimensionales de Navier–Stokes poseen soluciones suaves que existen para todo tiempo, o demostrar que existe al menos un caso en el que una solución inicialmente suave desarrolla una singularidad en tiempo finito, es decir, que puede producirse un "blow-up" (término inglés utilizado habitualmente en la literatura). El problema fue formulado por el Clay Mathematics Institute, en 2000, como uno de sus siete Problemas del Milenio, con un premio de un millón de dólares por una solución que satisfaga los criterios establecidos por el Instituto (Clay Mathematics Institute, s.f.).

Figura: Captura de pantalla de la descipción del problema
dada por el Clay Mathematics Institute.

Uno de los primeros avances fundamentales ocurrió en 1934, cuando Jean Leray demostró la existencia de soluciones débiles para las ecuaciones tridimensionales de Navier–Stokes. Las soluciones débiles satisfacen las ecuaciones en un sentido más general y requieren menos regularidad que las soluciones clásicas. Sin embargo, el resultado de Leray no demuestra que estas soluciones sean suaves para todo tiempo. De hecho, una de las estrategias centrales en el estudio del problema consiste precisamente en intentar demostrar que las soluciones débiles de Leray son, en realidad, suaves y regulares (Leray, 1934).

Desde entonces, numerosos matemáticos han realizado contribuciones importantes al estudio de la existencia, regularidad y posible formación de singularidades en las ecuaciones de Navier–Stokes y en ecuaciones relacionadas. Los resultados que se presentan a continuación representan solamente una pequeña selección de esta extensa línea de investigación.

En 2016, Terence Tao introdujo otra perspectiva. En lugar de trabajar directamente con las ecuaciones originales, construyó una versión promediada de las ecuaciones de Navier–Stokes que conserva varias propiedades importantes de las ecuaciones originales, incluida la identidad de energía, pero modifica de manera controlada su término no lineal. Tao demostró que esta ecuación modificada puede desarrollar una singularidad en tiempo finito (Tao, 2016).

El resultado de Tao no constituye un contraejemplo para el problema original. Su importancia es diferente: muestra que ciertas estimaciones generales y argumentos basados únicamente en la identidad de energía no pueden ser suficientes para demostrar la regularidad global de las ecuaciones de Navier–Stokes. Para resolver el problema original sería necesario aprovechar estructuras más específicas de su término no lineal (Tao, 2016).

Una línea de investigación relacionada apareció en el trabajo de Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa. En 2023 desarrollaron un mecanismo de formación de singularidades para las ecuaciones tridimensionales de Euler con una fuerza externa de cierta regularidad. Su construcción utiliza una estructura multiescala: diferentes regiones con vorticidad interactúan a escalas espaciales cada vez menores, produciendo una concentración que conduce a una singularidad en tiempo finito (Córdoba & Martínez-Zoroa, 2023).

Este resultado tampoco resolvía el problema de Navier–Stokes. Sin embargo, proporcionó un mecanismo de "blow-up" que podía servir como punto de partida para estudiar ecuaciones relacionadas. En 2024, Córdoba, Martínez-Zoroa y Fan Zheng extendieron estas ideas a una familia de ecuaciones de Navier–Stokes con una disipación más débil que la de las ecuaciones clásicas. Demostraron que, bajo determinadas condiciones, estas ecuaciones también pueden desarrollar singularidades en tiempo finito. Aunque este resultado representa un avance importante en el estudio de la formación de singularidades, nuevamente no demuestra que se produzca un "blow-up" en las ecuaciones tridimensionales clásicas de Navier–Stokes del Problema del Milenio (Córdoba, Martínez-Zoroa, & Zheng, 2024).

Estos resultados muestran por qué el problema es tan difícil. Existen mecanismos matemáticos capaces de producir singularidades en ecuaciones muy cercanas a Navier–Stokes, pero pequeñas diferencias en la estructura de la ecuación pueden ser decisivas. El desafío consiste precisamente en determinar qué ocurre en las ecuaciones originales, con su combinación particular de transporte no lineal, presión y disipación viscosa.

Los trabajos mencionados son solo algunos ejemplos dentro de una historia mucho más amplia de investigación. Precisamente sobre esta base de resultados previos, ideas y técnicas desarrolladas durante décadas, surge la afirmación asistida por inteligencia artificial de 2026: ¿pueden las herramientas de IA transformar estos mecanismos conocidos en una demostración rigurosa para las ecuaciones originales?

La inteligencia artificial y el problema de Navier–Stokes

En septiembre de 2026, los matemáticos Tristan Buckmaster y Levent Alpöge, utilizando herramientas de inteligencia artificial, anunciaron resultados relacionados con la formación de singularidades en varias ecuaciones de dinámica de fluidos. Su trabajo se apoyó en ideas desarrolladas previamente por Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa y permitió obtener resultados de "blow-up" para ecuaciones relacionadas con la dinámica de fluidos, incluyendo las ecuaciones de Euler con forzamiento suave (Alpöge & Buckmaster, 2026a, 2026b; Alpöge et al., 2026). Estos resultados constituyeron un paso importante hacia el estudio de mecanismos que podrían producir singularidades, pero no constituían por sí mismos una solución del Problema del Milenio de Navier–Stokes.

Al mismo tiempo, la compañía OpenAI anunció que un sistema interno basado en agentes de inteligencia artificial había producido una propuesta de solución para el problema de existencia y suavidad de las ecuaciones tridimensionales de Navier–Stokes. Según OpenAI, aproximadamente 10,000 agentes trabajaron de manera concurrente y llegaron a una propuesta de demostración en unas 88 horas. Posteriormente, una formalización y verificación en Lean requirió otras 17 horas (OpenAI, 2026a). OpenAI publicó tanto una demostración matemática como una formalización computacional de sus argumentos.

La propuesta de OpenAI afirma demostrar que, bajo condiciones iniciales y de forzamiento apropiadas, una solución inicialmente suave de las ecuaciones de Navier–Stokes puede desarrollar una singularidad en tiempo finito, mientras que la energía total permanece acotada. En términos intuitivos, el mecanismo consiste en una concentración progresiva de la dinámica del fluido hasta que determinadas cantidades asociadas con la velocidad dejan de permanecer acotadas (OpenAI, 2026a, 2026b).

Figura: OpenAI - Finite time blowup for Navier-Stokes, (pág. 4.)

Un aspecto particularmente notable de la propuesta es su formalización en Lean , un asistente de demostración matemática capaz de verificar formalmente cada paso de una prueba una vez que este ha sido expresado dentro de su sistema lógico (Lean FRO, n.d.). Según OpenAI, la formalización fue utilizada para comprobar computacionalmente la consistencia de los pasos matemáticos de la demostración propuesta (OpenAI, 2026c).

Sin embargo, es importante distinguir entre una demostración propuesta y formalizada y una solución matemáticamente reconocida del Problema del Milenio. El resultado de OpenAI todavía debe ser sometido al escrutinio de la comunidad matemática y superar el proceso establecido por el Clay Mathematics Institute antes de que pueda considerarse oficialmente una solución del problema. Por lo tanto, a septiembre de 2026, es más preciso hablar de una afirmación de resolución o de una solución propuesta asistida por inteligencia artificial, y no de un problema definitivamente resuelto (Clay Mathematics Institute, s.f.).

Esto plantea una pregunta que va más allá de las propias ecuaciones: si una inteligencia artificial puede producir y formalizar una demostración de esta magnitud, ¿qué papel desempeñan los matemáticos en el proceso de descubrimiento, comprensión y validación de las matemáticas?

Reflexión: qué significa la solución impulsada por IA para las matemáticas

El anuncio de que la inteligencia artificial podría haber producido una solución a uno de los Problemas del Milenio representa más que un logro técnico. Si la demostración propuesta resiste el escrutinio de la comunidad matemática, podría marcar un cambio importante en la manera en que abordamos algunos de los problemas más profundos de las matemáticas.

Lo que más me llama la atención no es simplemente que una IA haya llegado a un resultado que durante décadas se resistió a los matemáticos, sino cómo lo hizo. El camino no comenzó desde cero: se apoyó en décadas de intuición y trabajo humano, desde las ideas de Terence Tao y las construcciones de singularidades de Córdoba y Martínez-Zoroa hasta los resultados de Buckmaster y Alpöge. Los miles de agentes de IA utilizados por OpenAI no reemplazaron esta historia de investigación; exploraron y desarrollaron ideas dentro de un marco matemático construido por humanos.

Esto sugiere una posible nueva forma de hacer matemáticas, en la que la creatividad humana y la capacidad de exploración de la IA se complementan. Una idea matemática puede servir como punto de partida para una búsqueda a una escala que sería imposible para un investigador individual. La cuestión, entonces, no es si humanos o máquinas son mejores matemáticos, sino qué pueden descubrir juntos.

El resultado de Navier–Stokes también plantea una cuestión profunda sobre la relación entre las matemáticas y la realidad. Según la propuesta de OpenAI, ciertas soluciones inicialmente suaves pueden desarrollar una singularidad en tiempo finito, asociada con un vórtice que se concentra e intensifica hasta que determinadas cantidades de la velocidad dejan de estar acotadas. Matemáticamente, esto corresponde a un fenómeno de "blow-up". Sin embargo, una singularidad matemática no significa necesariamente que un fluido físico real alcance una velocidad infinita. Puede revelar propiedades de las soluciones del modelo que no se realizan físicamente o, incluso, señalar límites en el régimen de aplicabilidad de las ecuaciones.

La formalización en Lean introduce otra dimensión importante. Un asistente de demostración formal permite verificar mecánicamente los pasos lógicos de una prueba formalizada. Esto proporciona un nivel extraordinario de confianza en su corrección lógica, pero no elimina la necesidad de comprender qué se ha demostrado y si la formalización representa adecuadamente el problema original.

Aquí surge una pregunta que considero fundamental: ¿es suficiente verificar una verdad matemática, o necesitamos también comprenderla? Durante siglos, las matemáticas han valorado no solo las demostraciones correctas, sino también las ideas que explican por qué un resultado es verdadero. Si las futuras demostraciones generadas con IA llegan a ser demasiado complejas para que un ser humano pueda comprenderlas completamente, nuestra concepción del conocimiento matemático podría cambiar.

Por eso, independientemente de que la propuesta de 2026 resista finalmente el escrutinio, este episodio ya plantea preguntas importantes sobre el futuro de la investigación matemática. ¿Se convertirá la IA en una herramienta habitual para descubrir, demostrar y verificar resultados? ¿Cómo cambiará la formación de los matemáticos? ¿Por qué necesitamos todavía a los matemáticos humanos? ¿Y qué papel tendrá la comprensión humana cuando las máquinas participen cada vez más profundamente en el proceso de descubrimiento?

Las ecuaciones de Navier–Stokes, después de casi dos siglos, podrían convertirse así no solo en un problema fundamental de la matemática, sino también en un campo de pruebas para una nueva forma de hacer matemáticas: una en la que la intuición humana, la exploración computacional y la verificación formal trabajen conjuntamente.

El río de las matemáticas siempre ha fluido hacia adelante, a veces suavemente y a veces en remolinos turbulentos. Con la inteligencia artificial ahora en la corriente, todavía no sabemos hacia dónde nos llevará.

Bibliografía

Apéndice: Algunos detalles matemáticos

Para precisar las expresiones utilizadas a lo largo del texto, consideremos un fluido que ocupa una región del espacio tridimensional. La velocidad del fluido se describe mediante un campo vectorial

\[ \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \bigl(u_1(\mathbf{x},t),\,u_2(\mathbf{x},t),\,u_3(\mathbf{x},t)\bigr), \quad \mathbf{x}=(x,y,z). \]

Así, \(\mathbf{u}(\mathbf{x},t)\) asigna a cada punto del espacio y a cada instante de tiempo \(t\) un vector que representa la velocidad del fluido en ese lugar. Las funciones \(u_1\), \(u_2\) y \(u_3\) son las componentes de la velocidad en las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\), respectivamente. La trayectoria de una partícula del fluido puede representarse, en cambio, mediante

\[ \mathbf{x}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr). \]

El símbolo

\[ \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \]

se denomina operador nabla o del. Aunque tiene la forma de un vector, no es un vector ordinario, sino un operador diferencial. Cuando actúa sobre una función escalar \(f\), produce su gradiente:

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right). \]

Cuando \(\nabla\) se combina con el campo de velocidades mediante un producto punto, obtenemos la divergencia:

\[ \nabla\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z}. \]

Para un fluido incompresible se cumple

\[ \nabla\cdot\mathbf{u}=0. \]

Esta condición expresa matemáticamente que un elemento de fluido puede cambiar de forma, pero no cambia su volumen de manera neta.

El operador \(\nabla^2\) se denomina Laplaciano. En coordenadas cartesianas, para un campo vectorial se aplica componente a componente:

\[ \nabla^2\mathbf{u} = \big( \nabla^2u_1,\, \nabla^2u_2,\, \nabla^2u_3 \big), \]

donde, para una función escalar,

\[ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \]

Por tanto, para un fluido incompresible con viscosidad constante, el término \(\mu\nabla^2\mathbf{u}\) de las ecuaciones de Navier–Stokes representa matemáticamente la acción de la viscosidad sobre el campo de velocidades. Si el fluido fuese compresible o si la viscosidad no fuese constante, aparecerían términos adicionales.

Uno de los términos más importantes y menos intuitivos es

\[ \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u}. \]

Podemos escribir primero

\[ \mathbf{u}\cdot\nabla = u_1\frac{\partial}{\partial x} + u_2\frac{\partial}{\partial y} + u_3\frac{\partial}{\partial z}. \]

Por lo tanto,

\[ \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u} = u_1\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial x} + u_2\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial y} + u_3\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial z}. \]

Este término describe el cambio de la velocidad debido al propio movimiento del fluido: las partículas se desplazan a través de un campo de velocidades que, en general, cambia de un punto a otro. Es también el término que introduce la no linealidad fundamental de las ecuaciones de Navier–Stokes.

Finalmente, la derivada

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{u} \]

se denomina derivada material. A diferencia de la derivada parcial \(\partial\mathbf{u}/\partial t\), que describe cómo cambia la velocidad en un punto fijo del espacio, la derivada material describe cómo cambia la velocidad experimentada por una partícula que se mueve con el fluido.

Con estas definiciones, las ecuaciones de Navier–Stokes pueden interpretarse como una expresión de la segunda ley de Newton para cada pequeña región del fluido: la aceleración de las partículas está determinada por el gradiente de presión, las fuerzas externas y la viscosidad. En particular, la fuerza por unidad de volumen asociada a la presión es \(-\nabla p.\)

Los siguientes textos pueden ser de utilidad para ahondar más en el tema:

Nota: Este texto fue inspirado, en parte, por el video Why Navier-Stokes Pushes Math and Physics to the Edge. Aunque algunos de los temas y datos presentados aquí coinciden con los discutidos en el video, este escrito no pretende ser una transcripción ni una reproducción del mismo. He ampliado algunos de los aspectos matemáticos, especialmente aquellos relacionados con las ecuaciones de Navier-Stokes, la formación de singularidades y la formulación del Problema del Milenio. Asimismo, he incorporado explicaciones, ejemplos y reflexiones propias, incluyendo mi perspectiva sobre el papel que la inteligencia artificial puede desempeñar en la investigación matemática. Las ideas y opiniones expresadas en este texto son responsabilidad del autor.

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