Galileo Galilei y su ley de caída libre

1. Introducción

Con respecto al estudio del movimiento de caída libre, el filósofo griego Aristóteles (384-322 aC) asumió que los objetos más pesados ​​caían más rápido que los más ligeros. Esta suposición se mantuvo durante casi 2000 años hasta que, a finales del siglo XVI, el matemático italiano Galileo Galilei (1564-1642)  demostró que en realidad todos los objetos caen al mismo tiempo sin importar el peso de estos.

Corrientes de pensamiento con respecto al movimiento de caída libre

Aristoteliana                                          Galileana

Galileo estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía radicalmente las nociones aristotélicas acerca de la caída libre. Por supesto que en esa época, era muy difícil medir con precisión el tiempo que tarda un objeto en caer una distancia vertical. Sin embargo, Galileo se dio cuenta de que el movimiento de un objeto en caída libre era equivalente al movimiento de una esfera rodando por un plano inclinado. Por lo tanto, diseñó un plano inclinado para estudiar el movimiento de esferas rodando hacia abajo, donde se podría medir el tiempo transcurrido (ver Figura 1) utilizando un reloj de agua [1, p.178-179]. 

Figura 1: Plano inclinado

El experimento de Galileo lo podemos simular con la ayuda de la computadora. Consideremos un plano inclinado con un cierto ángulo. Desde lo alto, se deja caer una pelota rodando sobre el plano. Para medir el tiempo utilizaremos un contenedor que se llena de forma continua. Esto representará el reloj de agua usado por Galileo. Cuando la pelota llega al final del plano, el contenedor tendrá una cierta cantidad de agua. Si el ángulo de inclinación cambia, la cantidad de agua varía de manera inversamente proporcional, es decir, a mayor inclinación la cantidad de agua será menor y viceversa. Esto se puede apreciar en la siguiente applet. Haz clic en el botón Play para dejar caer la pelota. Usa el deslizador Ángulo para cambiar el ángulo de inclinación y observa los cambios que suceden en el contenedor.

Posteriormente, Galileo dividió el tiempo total y la distancia cubierta, sobre el plano inclinado, en intervalos iguales. Con esto descubrió la siguiente relación: Por cada intervalo (unidad) de tiempo transcurrido, la pelota cubría un número impar de intervalos de distancia en el plano inclinado.

En este caso la distancia acumulada no es otra cosa más que la suma de los números impares. En otras palabras, para cada intervalo de tiempo el número de intervalos cubierto por la pelota es impar, por lo tanto, el total de intervalos cubiertos por la pelota es la suma de 1, 3, 5, hasta dos veces el número de intervalos de tiempo menos uno. Entonces, si $d$ representa el número de intervalos de distancia y $t\geq 1$ representa el número de intervalos de tiempo, entonces

$$d = 1 +3 + 5 + \cdots + 2t - 1.$$

El total de esta suma es igual a $t^2$. Esta relación se puede apreciar en el siguente applet. Cambia el número de intervalos y observa la relación entre los intervalos del contenedor de agua y los intervalos de la distancia cubierta por la pelota sobre el plano. Lentamente, desliza el Tiempo para explorar cada valor de $d$ y $t$ para cada partición de intervalos de tiempo. Observa también que la relación se mantiene independientemente del ángulo de inclinación.

A partir de esta observación empírica, Galileo descubrió que: La distancia recorrida por la bola era proporcional al área de un cuadrado cuya longitud de lado venía dada por la duración (tiempo), y con una constante de proporcionalidad diferente para cada inclinación diferente.

En lenguaje matemático moderno Galileo descubrió que: La distancia recorrida por la esfera es proporcional al cuadrado de los tiempos. Es decir, si $d$ es la distancia recorrida y $t$ es el tiempo en el que se recorre dicha distancia, entonces

$$\frac{d}{t^2}=k$$

donde $k$ es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la inclinación del plano. Esta relación se cumple también para objetos en caída libre. La anterior expresión equivale a la relación para objetos en caída libre y en este caso $k=\frac{1}{2}g$:

$$d=\frac{1}{2}g\,t^2$$

donde $g$ es la aceleración originada por la gravedad.

2. La aproximación de Galileo al estudio del movimiento uniforme  y uniformemente acelerado

El conocimiento matemático que Galileo usó para estudiar el movimiento (uniforme y uniformemente acelerado) fue limitado. La mayoría de los métodos matemáticos que hoy damos por hecho no se habían descubierto o no se habían utilizado de manera confiable en la época de Galileo. Él no utilizó símbolos algebraicos o ecuaciones, o, a excepción de las tangentes, los conceptos de trigonometría. Los números que usó siempre se expresaban como enteros positivos, nunca como decimales. El Cálculo, descubierto más tarde por Issac Newton y Gottfried Leibniz, no estaba disponible. Los cálculos que Galileo realizó, se basaban en razones y proporciones, como se definen en los Elementos de Euclides. Su razonamiento fue principalmente geométrico, influenciado principalmente por Euclides. El estilo matemático de Galileo es evidente en sus diversos teoremas sobre el movimiento uniforme y acelerado. A continuación presentamos algunos resultados y los traducimos al lenguaje moderno usando  el lenguaje del álgebra.

2. 1 Movimiento uniforme

El primer teorema que citaremos se refiere al movimiento uniforme.

Teorema 1: Si una partícula en movimiento, moviéndose uniformemente a velocidad constante, atraviesa dos distancias, los intervalos de tiempo requeridos son el uno para el otro en la relación de estas distancias. (Galilei, p. 155)

Para nosotros (pero no para Galileo), este teorema se basa en la ecuación algebraica $s = vt$, en la cual $s$ representa la distancia, $v$ la velocidad y $t$ el tiempo. Este es un cálculo familiar. Por ejemplo, si viajas durante tres horas ($t = 3 h$) a $60 km$ por hora ($v = 60 km / h$), la distancia que has cubierto es de $180 km$ $(s = 3 \times 60 = 180 km)$. En el teorema de Galileo, calculamos dos distancias, que denotaremos por $s_1$ y $s_2$, en dos tiempos distintos, $t_1$ y $t_2$, a la misma velocidad $v$. Los dos cálculos son
$$s_1 = v\,t_1\quad \text{ y } \quad s_2 = v \, t_2.$$
Al dividir los dos lados de estas ecuaciones entre sí, obtenemos la relación del teorema de Galileo
$$\frac{t_1}{t_2} = \frac{s_1}{s_2}.$$
Ahora veamos  un teorema un poco más complicado, que no requiere que las dos velocidades sean iguales:

Teorema 2: Si dos partículas se mueven a una velocidad uniforme, pero con velocidades desiguales, a través de distancias desiguales, entonces la relación de intervalos de tiempo ocupados será el producto de la relación de las distancias por la relación inversa de las velocidades. (Galilei, p. 157)

En este teorema, hay dos velocidades diferentes, $v_1$ y $v_2$ involucradas, y las dos ecuaciones son
$$s_1 = v_1\, t_1 \quad\text{ y } \quad s_2 = v_2\,t_2.$$
Dividiendo ambos lados de las ecuaciones entre sí de nuevo, tenemos
$$\frac{s_1}{s_2} =\frac{v_1}{v_2}\frac{t_1}{t_2}.$$
Para terminar la demostración del teorema, multiplicamos ambos lados de esta ecuación por $v_2 / v_1$ y obtenemos
$$\frac{t_1}{t_2} = \frac{s_1}{s_2}\frac{v_2}{v_1}.$$
En el lado derecho, ahora es un producto de la relación directa de las distancias $s_1 / s_2$ y la relación inversa de las velocidades $v_2 / v_1$, tal como lo exige el teorema.

2. 2 Movimiento uniformemente acelerado

Los Teoremas 1 y 2 suponen que cualquier velocidad $v$ es constante; es decir, el movimiento no se acelera. Una de las contribuciones más importantes de Galileo fue su tratamiento del movimiento uniformemente acelerado, tanto en caída libre como en planos inclinados hacia abajo. ''Uniformemente'' aquí significa que la velocidad cambia en cantidades iguales en intervalos de tiempo iguales. Si la aceleración uniforme está representada por $a$, el cambio en la velocidad $v$ en el tiempo $t$ se calcula con la ecuación $v = at$. Por ejemplo, si andamos en  bicicleta y aceleramos a una velocidad uniforme $a = 5 m$ por segundo por segundo ($a = 5 m / s^2$) durante $t = 10 s,$ nuestra velocidad final será $v = 5 × 10 = 50 m$ por segundo. Una segunda ecuación, $s = at^2 / 2$, calcula la distancia $s$ cubierta en el tiempo $t$ bajo la aceleración uniforme $a$.

En particular, el movimiento de una pelota de cualquier peso en caída libre se acelera en la dirección vertical, es decir, perpendicular a la superficie de la Tierra, a una velocidad convencionalmente representada por el símbolo $g$, y es casi la misma en cualquier lugar de la Tierra. Para el caso de caída libre, con $a = g$, las últimas dos ecuaciones mencionadas son $v = g\,t$, para la velocidad obtenida en caída libre en el tiempo $t$ y $s = g\,t^2 / 2$ para la distancia correspondiente cubierta.

Galileo no usó la ecuación $s = a\,t^2 / 2$, sin embargo, descubrió a través de observaciones experimentales la parte de tiempo-cuadrado ($t^2$) de ella. Su conclusión se expresa en lo siguiente:

Teorema 3: Los espacios descritos por un cuerpo que cae del reposo con un movimiento uniformemente acelerado son el uno para el otro como los cuadrados de los intervalos de tiempo empleados para atravesar estas distancias. (Galilei, p. 174)

Nuestra prueba modernizada del teorema comienza escribiendo la ecuación de caída libre dos veces,
$$s_1=\frac{g\,t_1^2}{2}\quad \text{ y } \quad s_2=\frac{g\,t_2^2}{2},$$
y al combinar estas dos ecuaciones obtenemos
$$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}.$$

3. Comentarios finales

Las ideas de Galileo revolucionaron por completo el estudio del movimiento, en particular por introducir el concepto de 'Aceleración' como un cambio de velocidad en intervalos de tiempo iguales. Galileo observó que en los objetos en caída libre su velocidad cambia en intervalos de tiempo iguales y por lo tanto tenían una aceleración (en este caso, uniforme). Aunque no fue él quien calculó la famosa constante de aceleración originada por la gravedad de la Tierra $g=9.8 m/s^2$, fue el primero en observar y demostrar matemáticamente que dicha constante existía. Es quizá por esto que en su libro Il Saggiatore (Capitolo VI) menciona lo siguiente:

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Cuya traducción al español sería:

La filosofía está escrita en este grandísimo libro que continuamente está abierto delante de nuestros ojos (me refiero al Universo), pero no se puede entender si antes no estudiamos la lengua y los caracteres en los cuales está escrita. La lengua es la matemática y los caracteres son triángulos, circunferencias y otras figuras geométricas, sin cuyos medios es humanamente imposible entender una sola palabra; sin ellos vagará uno inútilmente por un obscuro laberinto.

4. Referencias

1. Galilei G. Dialogue concerning two new sciences. H. Crew & A. De Salvio, Translator. New York (NY): Dover Publications (Original work published 1632); 1954. Available from: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/index.html
2. Guisti, E. (2001) Los Discursos Sobre Dos Nuevas Ciencias. En Galileo y La Gestacion de La Ciencia Moderna: ACTA IX, Fundacion Canaria Orotava de Historia de La Ciencia (Tractatus Philosophiae). pp. 245-265.
3. Koiré, A. Estudios galileanos. España: Siglo XXI Editores. (1980).
4. MacDougal, D. W. (2012). Newton's gravity: An introductory guide to the mechanics of the universe. Springer. New york. 
5. Nicodemi, O. (2010). Galileo and Oresme: Who is Modern? Who is Medieval? Mathematics Magazine. Vol. 83, No. 1. pp. 24-32.
6. Ponce Campuzano, J. C. & Matthews, K., Adams, P. (2018). On the use of history of mathematics: an introduction to Galileo’s study of free fall motion. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 49: 4, 517-529. doi.org/10.1080/0020739X.2017.1377301
7. Seeger, R. J. (1966) Galileo Galilei: his life and his works. Pergamon Press LTD.

Para más información consulta los siguientes enlaces:

1. El experimento y la demostración se pueden consultar en el último libro de Galileo: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).

2. El siguiente sitio: Galileo Galilei's Notes on Motion, contiene información de las obras de Galileo así como manuscritos los cuales han sido digitalizados por la Biblioteca Nazionale di Firenze. Entre los distintos Folios, se encuentran datos de los experimentos que Galileo realizó. En particular el Folio 107v contiene datos del experimento del plano inclinado:  Clic aquí

3. Los siguientes sitios contienen más información acerca del experimento del plano inclinado Falling bodies

4. El siguiente enlace contiene un artículo recientemente publicado en la revista IJMEST: On the use of history of mathematics

5. Por último, en el siguiente enlace puedes encontrar un libro interactivo:

A geometrical approach to the concepts of speed and acceleration

Obras de Galileo:

• 1586 — La bilancetta (publicada póstumamente)
• 1590 — De motu
• 1606 — Le operazioni del compasso geometrico et militare
• 1600 — Le meccaniche
• 1610 — Sidereus nuncius (El mensajero sideral)
• 1615 — Carta a la Gran Duquesa Cristina (publicada en 1636)
• 1616 — Discorso del flusso e reflusso del mare
• 1619 — Discorso delle comete (publicado por Mario Guiducci)
• 1623 — Il saggiatore
• 1632 — Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copernicano (Diálogo sobre los principales sistemas del mundo)
• 1638 — Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).

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