Galileo Galilei y su ley de caída libre

Introducción

Galileo Galilei estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía las nociones aristotélicas acerca de la caída libre.

Para comprobar su hipótesis, Galileo realizó un experimento que consistía en dejar caer una esfera de plomo sobre un plano inclinado desde distintas alturas y con diferentes inclinaciones (Galilei, pp. 178-179). Con base en esto, Galileo descubrió una relación entre la distancia recorrida y el tiempo en el que cae dicho objeto, esto es: La distancia recorrida por la esfera es proporcional al cuadrado de los tiempos. Es decir, si $d$ es la distancia recorrida y $t$ es el tiempo en el que se recorre dicha distancia, entonces
$$\frac{d}{t^2}=k$$
donde $k$ es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la inclinación del plano. Esta relación se cumple también para objetos en caída libre.
Actualmente, la anterior expresión equivale a la relación para objetos en caída libre y en este caso $k=\frac{1}{2}g$:
$$d=\frac{1}{2}gt^2$$
donde $g$ es la aceleración originada por la gravedad.

Consideremos un plano inclinado de altura $h$ y ancho $L$. Desde lo alto, se deja caer una esfera sobre el plano. Para medir el tiempo, Galileo utilizó un contenedor en el cual se dejaba caer un flujo de agua continuo. Cuando la esfera llegaba al final de la diagonal, el contenedor tenía una cierta cantidad de agua. Si la inclinación cambiaba, la cantidad de agua cambiaba de manera inversamente proporcional, es decir, a mayor inclinación la cantidad de agua será menor y viceversa. Esto se puede apreciar en la siguiente hoja de trabajo de GeoGebra:

La aproximación de Galileo al estudio del movimiento uniforme  y uniformemente acelerado

El conocimiento matemático que Galileo usó para estudiar el movimiento (uniforme y uniformemente acelerado) fue limitado. La mayoría de los métodos matemáticos que hoy damos por hecho no se habían descubierto o no se habían utilizado de manera confiable en la época de Galileo. Él no utilizó símbolos algebraicos o ecuaciones, o, a excepción de las tangentes, los conceptos de trigonometría. Los números que usó siempre se expresaban como enteros positivos, nunca como decimales. El Cálculo, descubierto más tarde por Issac Newton y Gottfried Leibniz, no estaba disponible. Los cálculos que realizó, se basaban en razones y proporciones, como se definen en los Elementos de Euclides. Su razonamiento era principalmente geométrico, influenciado también por Euclides. El estilo matemático de Galileo es evidente en sus diversos teoremas sobre el movimiento uniforme y acelerado; aquí presentamos algunos brevemente y los traducimos al lenguaje moderno usando  el lenguaje del álgebra.

Movimiento uniforme

El primer teorema que citaremos se refiere al movimiento uniforme.

Teorema 1: Si una partícula en movimiento, moviéndose uniformemente a velocidad constante, atraviesa dos distancias, los intervalos de tiempo requeridos son el uno para el otro en la relación de estas distancias. (Galilei, p. 155)

Para nosotros (pero no para Galileo), este teorema se basa en la ecuación algebraica $s = vt$, en la cual $s$ representa la distancia, $v$ la velocidad y $t$ el tiempo. Este es un cálculo familiar. Por ejemplo, si viajas durante tres horas ($t = 3 h$) a $60 km$ por hora ($v = 60 km / h$), la distancia que ha cubierto es de $180 km$ ($s = 3 \times 60 = 180 km$). En el teorema de Galileo, calculamos dos distancias, que denotaremos por $s_1$ y $s_2$, en dos tiempos distintos, $t_1$ y $t_2$, a la misma velocidad $v$. Los dos cálculos son
$$s_1 = v_1t_1\text{ y } s_2 = v_2t_2.$$
Al dividir los dos lados de estas ecuaciones entre sí, obtenemos la relación del teorema de Galileo
$$\frac{t_1}{t_2} = \frac{s_1}{s_2}.$$
Ahora veamos  un teorema un poco más complicado, que no requiere que las dos velocidades sean iguales:

Teorema 2: Si dos partículas se mueven a una velocidad uniforme, pero con velocidades desiguales, a través de distancias desiguales, entonces la relación de intervalos de tiempo ocupados será el producto de la relación de las distancias por la relación inversa de las velocidades. (Galilei, p. 157)

En este teorema, hay dos velocidades diferentes, $v_1$ y $v_2$ involucradas, y las dos ecuaciones son
$$s_1 = v_1t_1 \text{ y } s_2 = v_2t_2.$$
Dividiendo ambos lados de las ecuaciones entre sí de nuevo, tenemos
$$\frac{s_1}{s_2} =\frac{v_1}{v_2}\frac{t_1}{t_2}.$$
Para terminar la demostración del teorema, multiplicamos ambos lados de esta ecuación por $v_2 / v_1$ y obtenemos
$$\frac{t_1}{t_2} = \frac{s_1}{s_2}\frac{v_2}{v_1}.$$
En el lado derecho, ahora es un producto de la relación directa de las distancias $s_1 / s_2$ y la relación inversa de las velocidades $v_2 / v_1$, tal como lo exige el teorema.

Movimiento uniformemente acelerado

Los Teoremas 1 y 2 suponen que cualquier velocidad $v$ es constante; es decir, el movimiento no se acelera. Una de las contribuciones más importantes de Galileo fue su tratamiento del movimiento uniformemente acelerado, tanto en caída libre como en planos inclinados hacia abajo. ''Uniformemente'' aquí significa que la velocidad cambia en cantidades iguales en intervalos de tiempo iguales. Si la aceleración uniforme está representada por $a$, el cambio en la velocidad $v$ en el tiempo $t$ se calcula con la ecuación $v = at$. Por ejemplo, si andamos en  bicicleta y aceleramos a una velocidad uniforme $a = 5 m$ por segundo por segundo ($a = 5 m / s^2$) durante $t = 10 s,$ nuestra velocidad final será $v = 5 × 10 = 50 m$ por segundo. Una segunda ecuación, $s = at^2 / 2$, calcula la distancia $s$ cubierta en el tiempo $t$ bajo la aceleración uniforme $a$.

En particular, el movimiento de una pelota de cualquier peso en caída libre se acelera en la dirección vertical, es decir, perpendicular a la superficie de la Tierra, a una velocidad convencionalmente representada por el símbolo $g$, y es casi la misma en cualquier lugar de la Tierra. Para el caso de caída libre, con $a = g$, las últimas dos ecuaciones mencionadas son $v = gt$, para la velocidad obtenida en caída libre en el tiempo $t$ y $s = gt^2 / 2$ para la distancia correspondiente cubierta.

Galileo no usó la ecuación $s = at^2 / 2$, sin embargo, descubrió a través de observaciones experimentales la parte de tiempo-cuadrado ($t^2$) de ella. Su conclusión se expresa en lo siguiente:

Teorema 3: Los espacios descritos por un cuerpo que cae del reposo con un movimiento uniformemente acelerado son el uno para el otro como los cuadrados de los intervalos de tiempo empleados para atravesar estas distancias. (Galilei, p. 174)

Nuestra prueba modernizada del teorema comienza escribiendo la ecuación de caída libre dos veces,
$$s_1=\frac{gt_1^2}{2}\text{ y } s_2=\frac{gt_2^2}{2},$$
y al combinar estas dos ecuaciones obtenemos
$$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}.$$

Comentarios finales

Las ideas de Galileo revolucionaron por completo el estudio del movimiento, en particular por introducir el concepto de 'Aceleración' como un cambio de velocidad en intervalos de tiempo iguales. Galileo observó que en los objetos en caída libre su velocidad cambia en intervalos de tiempo iguales y por lo tanto tenían una aceleración (en este caso, uniforme). Aunque no fue él quien calculó la famosa constante de aceleración originada por la gravedad de la Tierra $g=9.8 m/s^2$, fue el primero en observar y demostrar matemáticamente que dicha constante existía. Es quizá por esto que en su libro Il Saggiatore menciona lo siguiente:

La filosofía está escrita en ese vasto libro que está siempre abierto ante nuestros ojos: me refiero al universo [...]. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra. 

Referencias

  1. Galilei G. Dialogue concerning two new sciences. H. Crew & A. De Salvio, Translator. New York (NY): Dover Publications (Original work published 1632); 1954. Available from: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/index.html
  2. Koiré, A. Estudios galileanos. España: Siglo XXI Editores. (1980).


Para más información consulta los siguientes enlaces:

1. El experimento y la demostración se pueden consultar en el último libro de Galileo: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).

2. El siguiente sitio: Galileo Galilei's Notes on Motion, contiene información de las obras de Galileo así como manuscritos los cuales han sido digitalizados por la Biblioteca Nazionale di Firenze. Entre los distintos Folios, se encuentran datos de los experimentos que Galileo realizó. En particular el Folio 107v contiene datos del experimento del plano inclinado:  Clic aquí

3. Los siguientes sitios contienen más información acerca del experimento del plano inclinado


4. El siguiente enlace contiene un artículo recientemente publicado en la revista IJMEST:


5. Por último, en el siguiente enlace puedes encontrar un libro interactivo:



Obras de Galileo:
  • 1586 — La bilancetta (publicada póstumamente)
  • 1590 — De motu
  • 1606 — Le operazioni del compasso geometrico et militare
  • 1600 — Le meccaniche
  • 1610 — Sidereus nuncius (El mensajero sideral)
  • 1615 — Carta a la Gran Duquesa Cristina (publicada en 1636)
  • 1616 — Discorso del flusso e reflusso del mare
  • 1619 — Discorso delle comete (publicado por Mario Guiducci)
  • 1623 — Il saggiatore
  • 1632 — Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copernicano (Diálogo sobre los principales sistemas del mundo)
  • 1638 — Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Diálogos sobre dos nuevas ciencias).




Comentarios

  1. Falta mas Información mi estimado Amigo...

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    1. Por supuesto, aquí solo es una breve reseña del trabajo de Galileo. Para encontrar más información, puedes seguir los enlaces que menciono.

      Saludos.

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  2. Esto me saco un diez en mi materia de fisica :)

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