Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia
En una
circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ. Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la
circunferencia. Consideremos un punto A
sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se
muestra en el siguiente applet de Geogebra:
Nota: Ver applet en html aquí
Por lo tanto, la bisectriz l del ángulo PAQ debe pasar necesariamente por el punto M.
Probar que la
recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ.
De manera inversa, probar que si l
es una bisectriz del ángulo PAQ,
entonces l debe pasar necesariamente
por el punto M.
Demostración:
Primero probemos
que si l es una bisectriz del ángulo
PAQ, entonces l debe pasar por el punto M.
Supongamos que no
es así, es decir, que la bisectriz l
corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad,
supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2.
Figura 2
Consideremos los segmentos PR y QR. Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo
PAQ es igual al ángulo PRQ. Dado que m es mediatriz de PQ, en particular es bisectriz del ángulo PRQ. Esto implica que el ángulo PAM’ sea igual al ángulo PAM
porque l es bisectriz de PAQ. Pero esto no puede ser porque M y M’ son puntos diferentes (Figura 2).
Por lo tanto, la bisectriz l del ángulo PAQ debe pasar necesariamente por el punto M.
Ahora, probemos
que la recta l, la cual pasa por los
puntos A y M, es bisectriz del ángulo PAQ.
Consideremos los
segmentos PA, QA, PR y QR, como se muestra a continuación en la Figura:
Figura 3
Es claro que la mediatriz m también es bisectris del ángulo PRQ. Por lo que los ángulos PRM y MRQ son iguales.
Consideremos los ángulos PRM y PAM. Ambos ángulos son iguales ya que están comprendidos dentro de la misma cuerda PM. Asímismo, los ángulos MAQ y MRQ son iguales porque están comprendidos en la misma cuerda MQ.
Consideremos los ángulos PRM y PAM.
Figura 4
De lo anterior, se puede concluir que los ángulos
PAM y MAQ son iguales. Por lo tanto, la
recta l que pasa por los puntos M y A, es bisectriz del ángulo PAQ.
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