Bestiario Topológico

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Mostrando las entradas con la etiqueta resolución de problemas

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$. Ejemplo 1 . Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$ Ejemplo 2 . Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$ Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso y numerable. Ejemplo 3 . La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conj...

Proyección estereográfica (en dimensión 2)

De Miguel A. Maldonado - abril 23, 2017

Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto aquí Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos. Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo. También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón. Enlace: https://ggbm.at/bQKwnfN8 Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2...

Ejercicio de Topología

De Miguel A. Maldonado - abril 23, 2017

Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$ Pruebe que $p$ es función continua. Solución . Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.

El espacio de Arens-Fort

De Miguel A. Maldonado - marzo 24, 2017

Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio. Definición Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$ Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\...

Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ . Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en el siguiente applet de Geogebra: Nota: Ver applet en html aquí Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ . De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ , entonces l debe pasar necesariamente por el punto M . Demostración: Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ , entonces l debe pasar por el punto M . Figura 1 Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2. Figura 2 Consideremos los segmentos PR y QR . Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ ...

Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en $R[X]$

De Miguel A. Maldonado - junio 10, 2016

Sea $R$ anillo conmutativo en el que $a^2=0$ solo cuando $a=0$. Muestre que si el polinomio $q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$ es un divisor de cero, entonces existe un elemento $b\neq 0\in R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$. Solucion : La hipotesis sobre el cuadrado de $a$ permite asegurar que todas las potencias de $a$ solo se anulan cuando $a=0$: supongamos que $a^t=0$ y notemos que $(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$ Asi, por hipotesis tenemos $a^{t-1}=0$. Aplicando un argumento de induccion vemos que $a^t=0$ solo cuando $a=0$. Sea $p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con $b_0\neq 0$, tal que $q(X)p(X)=0$. Al realizar el producto obtenemos que ...

Sobre la infinidad de números primos

De Miguel A. Maldonado - enero 26, 2016

Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son él mismo y el $1$. La existencia de los números primos es de gran importancia ya que el Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero $n>1$ es un primo o es un producto de primos; además, la factorización en producto de primos es única salvo orden de los primos. En la presente nota daremos una prueba topológica de que existe una cantidad infinita de números primos. Para mostrar el resultado repasaremos algunos conceptos y resultados elementales de topología. Preliminares topológicos En una nota anterior hablamos sobre los abiertos de una topología, con lo cual podemos definir: un cerrado es aquel subespacio cuyo complemento es abierto. Algo que no se dijo en esa cómo generar una topología; aquí una forma: dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mathcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto puede ser expresado como unión de elementos de $\mathcal{B}$. La c...

Todo conjunto es compacto y Hausdorff

De Miguel A. Maldonado - enero 20, 2016

La compacidad de un espacio $X$ es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre $X$ (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de $\mathbb{R}^n$, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí la información. Por otro lado, el que un espacio $X$ sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de $X$ es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma $\{x\}$ son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en $X$, lo cual es algo que siempre se quiere tener. En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto $X$ siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topol...

El Método de Integración por Partes iterado

De Miguel A. Maldonado - julio 04, 2015

Sean $\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral $y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$ donde $P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$. El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho, $k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo. Aclaración : lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations de William F. Trench, disponible aquí . Primero observemos que al derivar a $y$ se obtiene $y'=e^{\alpha x}P(x)$. Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos $y=e^{\alpha x}u$; de donde se obtiene $(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$ Si $u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces $u_p$ se escribe como un polinomio $A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$. Así, la ecuación anterior tiene la forma ...