El Método de Integración por Partes iterado

Sean $\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral

$y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$

donde $P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$. El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho, $k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo.

Aclaración: lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations de William F. Trench, disponible aquí.

Primero observemos que al derivar a $y$ se obtiene $y'=e^{\alpha x}P(x)$. Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos $y=e^{\alpha x}u$; de donde se obtiene

$(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$

Si $u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces $u_p$ se escribe como un polinomio $A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$. Así, la ecuación anterior tiene la forma

$(A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k)'+\alpha (A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$

Los coeficientes del lado izquierdo son

$A_1+\alpha A_0,\:2A_2+\alpha A_1, \:3A_3+\alpha A_2,\:\cdots,\: kA_k+\alpha A_{k-1},\:\alpha A_k$

por lo que se obtiene: $\alpha A_k=p_k$ y además  

$(k-j+1)A_{k-j+1}+\alpha A_{k-j}=p_{k-j},$

para $1 \leq j\leq k$. De esto finalmente obtenemos que

$y=\int e^{\alpha x}P(x)dx=(A_0+A_1x+\cdots+ A_kx^k)e^{\alpha x}+c$

donde $c$ es una constante de integración.

Ejemplo.  Consideremos la integral $\int e^{-x}(-1+x^2)dx$. Escribamos $y=ue^{-x}$ para obtener que $e^{-x}(u'-u)=e^{-x}(-1+x^2)$; es decir, $u'-u=-1+x^2$.  Escribamos a la solución particular $u_p$ de esta ecuación como $A+Bx+Cx^2$; así

$u'-u=B+2Cx-A-Bx-Cx^2=-1+x^2$

de donde $C=-1, B=-2,A=-1$, por lo que $u_p=-(1+x)^2$ y por lo tanto

$y=\int e^{-x}(-1+x^2)dx= -e^{-x}(1+x^2)+c$

como puede constatarse aquí.

Pregunta: $¿$Qué se obtiene al aplicar el método anterior a la integral $\int x^k e^{\alpha x}dx$, con $k$ entero positivo y $\alpha \neq 0?$