El Problema de Nielsen (parte I)

De Miguel A. Maldonado - julio 03, 2015

Sea

X

$X$ espacio topológico y

p \in X

$p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental

π_{1} (X, p)

$\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en

p

$p$ bajo la operación

[α] * [β] = [α * β]

$[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$ , donde

α * β

$\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación

X \mapsto π_{1} (X, p)

$X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial: dado

Y

$Y$ espacio topológico y una función continua

f : X \to Y

$f:X\to Y$ tal que

f (p) = q

$f(p)=q$ existe un homomorfismo

f_{*} : π_{1} (X, p) \to π_{1} (Y, q)

$f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$ , de donde se obtiene que para todo espacio

Y

$Y$ homeomorfo a

X

$X$ se tiene

π_{1} (Y, q) ≅ π_{1} (X, p)

$\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$ . En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en

π_{1} (X, p)

$\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares (mapping class groups).

Sean

S_{g}

$S_g$ la superficie orientable de género

g

$g$ ,

T o p (S_{g})

$Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de

S_{g}

$S_g$ y

Γ (S_{g}) = T o p (S_{g}) / ≃

$\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq$ su grupo modular (extendido). Observemos que

h \in T o p (S_{g})

$h\in Top\:(S_g)$ no siempre induce un isomorfismo de

π_{1} (S_{g}, p)

$\pi_1(S_g,p)$ debido a que el punto base

p

$p$ no necesariamente se preserva. Aún así, se tiene un isomorfismo

h_{*} : π_{1} (S_{g}, p) ⟶ π_{1} (S_{g}, h (p))

$h_*:\pi_1(S_g,p)\longrightarrow \pi_1(S_g,h(p))$

Por otro lado, dado un camino

$\gamma$ de

$h(p)$ a

$p$ se tiene el isomorfismo

$\gamma_*:\pi_1(S_g,h(p))\longrightarrow \pi_1(S_g,p)$

que es un automorfismo interno de

$\pi_1(S_g,p)$ si y sólo si

$\gamma$ es un lazo basado en

$p$ . Más aún, dados

$\phi,\varphi$ caminos de

$h(p)$ a

$p$ los homomorfismos inducidos

$\phi_*,\varphi_*$ difieren por un homomorfismo interno de

$\pi_1(S_g,p)$ . Así, consideramos el cociente

$Out\: \pi_1(S_g,p)=Aut\:\pi_1(S_g,p)/Inn\:\pi_1(S_g,p)$

llamado el grupo de automorfismos exteriores de

$\pi_1(S_g,p)$ .

J. Nielsen

Jakob Nielsen (1890-1959) se preguntó acerca del inverso para la función

$\eta:Top\:(S_g)\to Out\:\pi_1(S_g,p)$ construida arriba: ¿será que todo elemento de

$Out\:\pi_1(S_g,p)$ está inducido por un elemento particular de

$Top\:(S_g)$ ? Mas aún, ¿qué subgrupos de

$Out\:\pi_1(S_g,p)$ pueden ser representados por subgrupos de

$Top\:(S_g)$ ? Éste es el llamado Problema de Realización de Nielsen.

La versión más conocida del problema anterior se obtiene al notar que el homomorfismo

$\eta$ factoriza a través de

$\Gamma(S_g)$ , por lo que se obtiene

$\overline{\eta}:\Gamma(S_g)\longrightarrow Out\pi_1(S_g,p)$

M. Dehn

Es un resultado de M. Dehn que

$\overline{\eta}$ es un isomorfimo para

$g\geq 1$ pero fué J. Nielsen el primero en publicar una demostración (en 1927). Por otro lado, R. Baer fué el primero en probar la inyectividad (en 1928) de

$\overline{\eta}$ . Así, el problema de Nielsen se plantea en otros términos:

¿qué subgrupos (finitos) de

$\Gamma(S_g)$ admiten una representación en

$Top\:(S_g)$ ?

Buscar este blog

Bestiario Topológico

El Problema de Nielsen (parte I)

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares

Galileo Galilei y su ley de caída libre

Breve historia del Cálculo

Una historia de la Teoría de Conjuntos