Bestiario Topológico

Recordemos  que el Problema de Nielsen consiste en determinar qué subgrupos del grupo modular $\Gamma (S_g)$ pueden ser representados en $Top(S_g)$. Por ejemplo, dado $H\subset \Gamma (S_g)$ con $H=<h>$ cíclico infinito, ¿es cierto que $h$ es de orden infinito? Hagamos $g=0$ y consideremos el grupo modular $\Gamma(S^2)$. En 1926 H. Kneser publica el resultado que afirma que todo homeomorfismo de $S^2$ que preserva orientación es isotópico a una rotación; el análogo diferenciable se debe a S. Smale . En el caso de considerar el grupo modular $\Gamma^{\pm}(S^2)$ de todos los homeomorfismos (los que preservan orientación y los que no) se tiene que $\Gamma^{\pm}(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2=\{1,a\}$, donde $1$ es la identidad y $a$ es la función antipodal $x\mapsto -x$. Así, todo el grupo $\Gamma^{\pm}(S^2)$ queda representado por las funciones identidad y antipodal. Tomemos el caso $g=1$. Recordemos el isomorfismo $\Gamma(S_g)\cong Out \pi_1(S_...

Las transformaciones de Möbius son funciones racionales complejas de la forma $$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ donde $a,b,c$ y $d$ son constantes complejas tales que $ad-bc\neq 0$. Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius  (1790-1868), aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas. August Möbius (1790-1868) Source: Wikipedia Las propiedades matemáticas de las transformaciones de Möbius se estudian en los cursos de variable compleja. Por ejemplo, se sabe que dichas transformaciones son funciones meromórficas (de hecho el grupo de automorfismos meromóficos del plano extendido $\mathbb C_{\infty}$ consiste precisamente de transformaciones de Möbius) y además son funciones conformes en todas partes. También estas transformaciones poseen la siguiente propiedad geométrica: Los arcos de circunferencias son transformados (o mapeados)...

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...

El Grupo Modular de una Superficie

En términos generales una variedad diferenciable (léase, suave)  es la generalización, a dimensiones mayores, del concepto de curva y superficie. En ese sentido una variedad diferenciable es un objeto donde pueden llevarse a cabo operaciones propias del calculo diferencial. La presente nota aborda este proceso de generalización. La teoría de superficies, surgida en el siglo XIX, es el estudio de las propiedades geométricas de superficies mediante el uso de herramientas del cálculo diferencial. El método de trabajo de esta teoría, que consideraba no sólo propiedades analíticas sino también las diferenciables, representó un enfoque sumamente útil lo que le permitió ser introducido en varias áreas de la matemática moderna. En reconocimiento a este enfoque la teoría de superficies fue renombrada como  geometría diferencial  en el siglo XX , ampliando con esto los objetos de estudio a espacios de dimensiones mas grandes ($\geq 2$). Esta nueva etapa en la geometr...