El Problema de Nielsen (parte II)

Recordemos que el Problema de Nielsen consiste en determinar qué subgrupos del grupo modular $\Gamma (S_g)$ pueden ser representados en $Top(S_g)$. Por ejemplo, dado $H\subset \Gamma (S_g)$ con $H=<h>$ cíclico infinito, ¿es cierto que $h$ es de orden infinito?

Hagamos $g=0$ y consideremos el grupo modular $\Gamma(S^2)$. En 1926 H. Kneser publica el resultado que afirma que todo homeomorfismo de $S^2$ que preserva orientación es isotópico a una rotación; el análogo diferenciable se debe a S. Smale. En el caso de considerar el grupo modular $\Gamma^{\pm}(S^2)$ de todos los homeomorfismos (los que preservan orientación y los que no) se tiene que $\Gamma^{\pm}(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2=\{1,a\}$, donde $1$ es la identidad y $a$ es la función antipodal $x\mapsto -x$. Así, todo el grupo $\Gamma^{\pm}(S^2)$ queda representado por las funciones identidad y antipodal.

Tomemos el caso $g=1$. Recordemos el isomorfismo $\Gamma(S_g)\cong Out \pi_1(S_g,p)$ y notemos que como $\pi_1(T^2)\cong \mathbb{Z}^2$ tenemos $Out \mathbb{Z}^2=GL(2,\mathbb{Z})$. De aquí que $\Gamma(T^2)=GL(2,\mathbb{Z})$. El caso $g=1$ es especial pues $T^2$ es la única superficie que tiene una única estructura euclidiana, lo cual implica que los elementos en el grupo modular $\Gamma(T^2)$ sea realizados a través de funciones geodésicas. Por otro lado, aunque las superficies de género $g\geq 2$ tienen una cantidad infinita de estructuras hipérbolicas, su grupo de isometrías es finito; en particular esto impide tener una realización de subgrupos infinitos mediante funciones geodésicas.

Otros casos donde la respuesta al problema de realización es afirmativo son cíclicos, solubles finitos, subgrupos $\cong \mathbb{Z}^n$ generados por una colección de giros de Dehn. La respuesta para grupos finitos en general es debida a S. Kerckhoff en 1983 usando la teoría de Teichmuller.

H. Zieschang

Nota final: es posible mostrar que cualquier subgrupo finito de $\Gamma(S_g)$ es el grupo de isometría de cierta superficie hiperbólica, grupo que sólo puede contener a lo más $84(g-1)$ elementos (ver Teorema 15.21 en Finite subgroups of mapping class groups of surfaces de H. Zieschang). Con esto, el order máximo de cualquier subgrupo finito de $\Gamma(S_g)$ es $84(g-1)$.