Bestiario Topológico

Seguramente conoces lo que es un toro: Y también seguramente conoces lo que es un nudo trébol: Pero, ¿alguna vez has visto la combinación de ambos? Las siguientes imágenes muestran un nudo trébol en el interior de un toro. En la Figura 1, podemos apreciar en el interior el nudo trébol. Figura 1. En la Figura 2 podemos observar una animación de la superficie del toro con el nudo en su interior. Figura 2. En la Figura 3 podemos observar con más detalle en el interior del toro el nudo trébol y en la Figura 4 la animación de la misma. Figura 3. Figura 4.

Recordemos  que el Problema de Nielsen consiste en determinar qué subgrupos del grupo modular $\Gamma (S_g)$ pueden ser representados en $Top(S_g)$. Por ejemplo, dado $H\subset \Gamma (S_g)$ con $H=<h>$ cíclico infinito, ¿es cierto que $h$ es de orden infinito? Hagamos $g=0$ y consideremos el grupo modular $\Gamma(S^2)$. En 1926 H. Kneser publica el resultado que afirma que todo homeomorfismo de $S^2$ que preserva orientación es isotópico a una rotación; el análogo diferenciable se debe a S. Smale . En el caso de considerar el grupo modular $\Gamma^{\pm}(S^2)$ de todos los homeomorfismos (los que preservan orientación y los que no) se tiene que $\Gamma^{\pm}(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2=\{1,a\}$, donde $1$ es la identidad y $a$ es la función antipodal $x\mapsto -x$. Así, todo el grupo $\Gamma^{\pm}(S^2)$ queda representado por las funciones identidad y antipodal. Tomemos el caso $g=1$. Recordemos el isomorfismo $\Gamma(S_g)\cong Out \pi_1(S_...

Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones. Definiciones y el grupo de nudo Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica). Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes Un primer pro...

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...

El Grupo Modular de una Superficie

(Esta entrada es la continuación del tema sobre la noción de  variedad diferenciable ) Recordemos que una variedad diferenciable es el objeto obtenido al añadir dos estructuras a un conjunto, una topológica y una diferencial, con ciertas condiciones técnicas que comentaremos a continuación. Decimos que un espacio topológico $M$ es una $n$-variedad topológica  si es un espacio Hausdorff, segundo numerable y localmente Euclidiano de dimensión $n$. Es decir, para cada punto $x\in M$ existe una vecindad $U$ y un homeomorfismo $\varphi: U\rightarrow O$, con $O$ abierto de $\mathbb{R}^n$. Una pareja $(U,\varphi)$ es llamada una carta coordenada  para $M$ si $U$ es un subespacio abierto de $M$ y $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un abierto de $\mathbb{R}^n$. Primero recordemos que un espacio Hausdorff $M$ es aquel en el que para cada par de puntos distintos $x,y\in M$ existen subconjuntos abiertos ajenos $U,V$ tales que $p\in U$ y $q\in V$. La condición de ser...

En términos generales una variedad diferenciable (léase, suave)  es la generalización, a dimensiones mayores, del concepto de curva y superficie. En ese sentido una variedad diferenciable es un objeto donde pueden llevarse a cabo operaciones propias del calculo diferencial. La presente nota aborda este proceso de generalización. La teoría de superficies, surgida en el siglo XIX, es el estudio de las propiedades geométricas de superficies mediante el uso de herramientas del cálculo diferencial. El método de trabajo de esta teoría, que consideraba no sólo propiedades analíticas sino también las diferenciables, representó un enfoque sumamente útil lo que le permitió ser introducido en varias áreas de la matemática moderna. En reconocimiento a este enfoque la teoría de superficies fue renombrada como  geometría diferencial  en el siglo XX , ampliando con esto los objetos de estudio a espacios de dimensiones mas grandes ($\geq 2$). Esta nueva etapa en la geometr...