El concepto de variedad diferenciable (parte I)

En términos generales una variedad diferenciable (léase, suave)  es la generalización, a dimensiones mayores, del concepto de curva y superficie. En ese sentido una variedad diferenciable es un objeto donde pueden llevarse a cabo operaciones propias del calculo diferencial. La presente nota aborda este proceso de generalización.

La teoría de superficies, surgida en el siglo XIX, es el estudio de las propiedades geométricas de superficies mediante el uso de herramientas del cálculo diferencial. El método de trabajo de esta teoría, que consideraba no sólo propiedades analíticas sino también las diferenciables, representó un enfoque sumamente útil lo que le permitió ser introducido en varias áreas de la matemática moderna. En reconocimiento a este enfoque la teoría de superficies fue renombrada como geometría diferencial en el siglo XX, ampliando con esto los objetos de estudio a espacios de dimensiones mas grandes ($\geq 2$). Esta nueva etapa en la geometría hizo evidente la necesidad de abstraer las propiedades intrínsecas a la noción de diferenciabilidad, lo que recuerda inevitablemente lo sucedido con la teoría de espacios topológicos, iniciada con la idea de abstraer la noción de cercanía y de continuidad.



Diferenciabilidad y sistemas de coordenadas.

En primer lugar recordemos que el concepto de diferenciabilidad está íntimamente ligado al concepto de número pues, como ocurre en el caso de funciones diferenciables en $\mathbb{R}$, se trata acerca de la noción tanto de límite (considerado como el proceso de la aproximación a un punto dado) como de las propiedades y operaciones de los números reales. El concepto clave para ligar la noción de número con la intuición geométrica en el estudio de superficies y de espacios de dimensiones mayores es el de sistema de coordenadas. El primer ejemplo de un sistema de coordenadas se encuentra en el trabajo de R. Descartes (1596-1650) contenido en el apéndice Géométrie de su tratado Discours de la méthode, publicado en 1637. El enfoque pionero de Descartes consistió en unir la geometría Euclidiana con las ecuaciones algebraicas mediante el traslado de la geometría clásica a un plano coordenado, el plano cartesiano. Ésta consideración permitió traducir relaciones entre figuras geométricas a relaciones entre sus respectivas representaciones algebraicas, obteniendo con esto uno de sus mayores logros: la creación de un esquema que funge como una representación matemática del mundo físico. Más aún, dada la conceptualización de la geometría clásica, el método de Descartes permitió obtener una representación absoluta, universal, de los fenómenos físicos y geométricos. 


A pesar de que la representación de Descartes fue usada en el siglo XVIII, extendiéndose a varias áreas de las matemáticas como el análisis funcional, dicha representación no había sido objeto de ningún análisis que develara su propia naturaleza. Es precisamente el trabajo de K.F. Gauss (1777-1855) de mediados del siglo XIX sobre la curvatura de superficies, que permitió considerar al sistema de coordenadas de Descartes de manera relativa; es decir, el sistema de coordenadas usado como una manera de estudiar propiedades locales de una superficie. La manera de trabajar de Gauss consiste en escoger un punto en la superficie e introducir un sistema de coordenadas alrededor de tal punto (es decir, un sistema local), obteniendo con esto que las propiedades geométricas de una superficie puedan traducirse en expresiones numéricas. Esto permitió despojar al sistema coordenado de Descartes de su rigidéz intrínseca, creando un parteaguas en el concepto de sistema coordenado. 


Transformación de coordenadas

Una de las primeras cuestiones que surgen al tratar con sistemas de coordenadas locales es notar que alrededor de un punto dado es posible definir varios sistemas coordenados. Supongamos entonces que alrededor de un punto de la superficie se definen dos sistemas de coordenadas: ¿qué relación hay entre estos dos sistemas?, ¿cómo se relacionan las expresiones que arroja cada uno de los sistemas? Para contestar esto es necesario considerar aquellas propiedades invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Recordemos que una de las características de los espacios topológicos es la posibilidad de poder definir el concepto de continuidad sin hacer uso de un sistema de coordenadas y que si existe el interés en definir el concepto de diferenciabilidad es preciso introducir un sistema de coordenadas. Más aún, la diferenciabilidad de una función depende del sistema de coordenadas elegido (en el plano pueden elegirse dos sistemas de coordenadas tales que la función identidad es diferenciable sólo en uno de ellos). Para garantizar la diferenciabilidad en los sistemas coordenados introducidos debemos pedir que el cambio de coordenadas entre uno y otro se haga a través de una función diferenciable, logrando con esto que las funciones diferenciables determinadas por ambos sistemas de coordenadas sean las mismas.


Generalización en términos de espacios topológicos

Una vez resuelta la cuestión de la transformación de coordenadas, uno se pregunta: ¿cómo introducir la noción de diferenciabilidad en un contexto más general? Primero hay que recordar dos puntos importantes:

1. La propiedad de ser diferenciable es una noción construida a partir de la noción de continuidad, añadiendo condiciones extra a ésta última. 
2. El concepto de espacio topológico surge de la necesidad de abstraer y de generalizar la noción de continuidad. 

Con estas dos observaciones resulta natural construir el concepto de diferenciabilidad considerando como cimiento el concepto de espacio topológico. En términos muy generales es posible añadir una estructura diferenciable a un espacio topológico $M$ introduciendo, en primer lugar, un  sistema de coordenadas en cada punto de $M$ de tal manera que si alrededor de algún punto dos sistemas se traslapan, el cambio de coordenadas entre ellos se realice a través de funciones diferenciables. Para garantizar la correcta definición de función diferenciable sobre $M$ sólo debemos corroborar que todos los sistemas de coordenadas locales cubren a todo $M$; es decir, que todo punto en $M$ tenga un correcto sistema de coordenadas. El espacio obtenido mediante éste proceso es llamado variedad diferenciable.




En la segunda parte de este texto abordaremos el concepto de variedad diferenciable de una manera más técnica, más aterrizada.