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La órbita de Homero Simpson: Una divertida aplicación de la Transformada Discreta de Fourier

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Introducción En 2008 Santiago Ginnobili y Christián C. Carman publicaron un ejemplo de un sistema de epiciclos trazando una órbita formando la figura del famoso personaje de caricaturas, Homero Simpson. En ese mismo año Santiago Ginnobili publicó en su canal de YouTube la animación de dicha órbita:

Desde entonces, esta animación ha causado admiración y revuelo en las redes sociales, en particular en las comunidades interesadas en las matemáticas, e incluso muchas personas han realizados sus propias versiones.
Aquí surgen varias preguntas. ¿Cómo se calculan los radios de cada uno de los círculos? ¿Cómo se calculan las velocidades de rotación de cada epiciclo? En general, ¿cómo Santiago Ginnobili y Christián C. Carman lograron hacer esta animación? En realidad detrás de esta construcción se encuentra escondida la Transformada Discreta de Fourier (TDF), lo cual he mencionado en una entrada anterior (Dibujando curvas cerradas con epiciclos) pero no expliqué exa…

Interpolación trigonométrica usando la Transformada Discreta de Fourier

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Introducción
La Transformada Discreta de Fourier (TDF) transforma una sucesión de $n$ números complejos  $$\{x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}\}$$ en otra sucesión de números complejos $$\{X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}\}$$ por medio de la fórmula \begin{eqnarray} X_k &=&\; \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} x_j \cdot e^{- i \,2 \pi \,k \,j / n}\qquad(k = 0, 1,\ldots, n-1)\nonumber\\ &=& \; \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} x_j \left[ \cos \left( \frac{2\pi}{n}\,k\,j\right) - i\, \sin \left( \frac{2\pi}{n}\,k\,j\right) \right]\label{four} \end{eqnarray}
Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos la siguiente sucesión de números complejos: $$\mathbf x = \left\{ 1, 2-i, -i, -1+2i \right\}$$
Al aplicar la TDF (\ref{four}) tenemos: \begin{equation} \begin{aligned} X_{0}= {} &\frac{1}{4} \big[ 1\cdot e^{-i\,2\pi \cdot 0\cdot 0/4}+\left(2-i\right) \cdot e^{-i\,2\pi \cdot 0\cdot 1/4}\big.\\ & \left.+\; \left(-i\right) \cdot e^{-i\,2\pi \cdot 0\cdot 2/4}+ \left(…

¿Cómo se estudian pandemias? Covid-19 Modelo SIR

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Una pequeña colaboración con el canal de YouTube MATH2ME

https://www.geogebra.org/m/ymwxkyna


Teorema de la Curva de Jordan (parte 2)

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Teorema de la Curva de Jordan (parte 1)

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Homología, espacios de adjunción y superficies

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¿Cómo se genera el Conjunto de Mandelbrot?

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IntroductionEsencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c $,…

El Monstruo del Lago Ness: Espirales con series de números complejos

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IntroducciónEn Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente.
Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma
$$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$
donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas.
Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es la siguiente:



Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar la forma del gr…

(Pequeña) Nota sobre homología con coeficientes

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Matemáticas dinámicas (4ta parte)

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