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¿Cómo se genera el Conjunto de Mandelbrot?

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Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero.

El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c $, ha sido dupl…

El Monstruo del Lago Ness: Espirales con series de números complejos

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En Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente.

Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma
$$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$
donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas.

Un ejemplo con el que podemos comenzar es la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es la siguiente:


Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar la forma del gráfico, concentrémonos en el ángulo entre segmentos de línea suc…

(Pequeña) Nota sobre homología con coeficientes

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Matemáticas dinámicas (4ta parte)

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Mathematical Dependency Tree

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El viajero y la botella de agua

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Dibujando curvas cerradas con epiciclos

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1. Una introducción al concepto de epiciclos
Considera un punto que se mueve sobre la circunferencia de un círculo.

Si deseas expresar el movimiento de este punto en términos matemáticos, podemos decir que las coordenadas $x$ e $y$ del punto se pueden definir como:  \[ \begin{aligned} x(t) & = R\cos(\omega t)\\ y(t) & = R\mbox{ sen}(\omega t).\\ \end{aligned} \]
Donde $R$ es el radio del disco y $\omega$ es la velocidad con la cual el punto está rotando. Este tipo de fórmula se denomina como ecuación paramétrica, si esta ecuación no te es familiar, valdrá la pena leer un como acerca de este tema antes de proseguir.
Ahora veamos algo un poco más complejo: agreguemos un segundo círculo con su propio punto rotando en su circunferencia. Si trazamos el lugar geométrico de este segundo punto, podemos observar una especie de flor o algo así:

No es difícil describir matemáticamente este trazo, o curva, un poco más complejo: la posición de este punto es solamente la suma de cada una d…

Herramienta para visualizar campos vectoriales

Con la siguiente herramienta creada por Andrei Kashcha @anvaka, puedes graficar campos vectoriales (independientes del tiempo).


Pantalla completa: https://anvaka.github.io/fieldplay/

El conjunto de Cantor con GeoGebra

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Muchos fractales se forman realizando una acción simple una y otra vez, en una secuencia de pasos recursivos. En cada paso, el objeto inicial (input) puede ser una figura simple (una curva poligonal, por ejemplo) y el resultado (output) es una modificación de esa forma.
A continuación presentamos un método para construir fractales con GeoGebra. Para esto necesitaremos los siguientes comandos:
Punto()
Segmento()
Secuencia()
Elemento()
Encadena()
Longitud()

Por supuesto, supondremos que tienes un conocimiento básico del programa. Si no lo conoces aún, en el siguiente enlace Tutorial GeoGebra puedes encontrar un tutorial para familiarizarte con él. Tampoco es necesario explicar aquí cada uno de los comandos mencionados, pero si deseas profundizar en el tema puedes visitar este sitio: Comandos GeoGebra.
El conjunto de Cantor

Comencemos con el ejemplo más conocido: el conjunto de Cantor. Iniciamos nuestra construcción con un segmento de línea, eliminamos el tercio medio, lo que resulta en dos se…

Matemáticas dinámicas (3ra parte)

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- Fractal: https://www.visnos.com/demos/fractal

Otros demos: https://www.visnos.com/demos
- ABC of Mathematics: https://www.abcmath.xyz/


- David, simulaciones de fluidos: http://david.li/

- Photography mapped: http://photography-mapped.com/interact.html

- Parametric curves plotter: https://christopherchudzicki.github.io/MathBox-Demos/parametric_curves_3D.html

- Time line of earth: http://timelineofearth.com/

- Sketches by Ricky Reusser: https://rreusser.github.io/sketches/

- The mutable gallery: https://mutable.gallery/
- The metamorphosis: https://escher.ntr.nl/en/

- Web Mandelbrot: https://guciek.github.io/web_mandelbrot.html

- Physics Lab, Double pendulum: https://www.myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum-en.html
- Rubik's Cube: http://www.randelshofer.ch/webgl/rubikscube/


- Library of Babel:

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