Bestiario Topológico

¡Hola a todos! Este año está por terminar y solo queremos agradecer su visita a este blog y su apoyo. Últimamente hemos visto muchas visitas y varios usuarios han dejado sus comentarios en algunas entradas. Es un gusto saber que es de útilidad para muchas personas.  Les deseamos felices fiestas. Nuestros mejores deseos para el próximo año 2024. Attentamente: Juan Carlos y Miguel Ángel

Imagen tomada del libro Formas , de la Biblioteca infantil de Britannica,  Encyclopedia Britannica, Inc., 1979  

  $\dfrac{dx}{dt}= x - y - x (x^2 + y^2),\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y - y (x^2 + y^2)$ $\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$ $\dfrac{dx}{dt}= 1,\;\: \dfrac{dy}{dt}= y^2 - x^2$ $\dfrac{dx}{dt}= x - y,\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y $ $\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$ $\dfrac{dx}{dt}= x^2 - y^2,\;\: \dfrac{dy}{dt}= 2xy$ Become a member!

Euclides fundó su escuela en los tiempos de Ptolomeo I Soter, que reinó entre 313 y 283 antes de nuestra era. Se cuenta que, después de aprender las primeras lecciones de geometría, un estudiante preguntó el beneficio que obtendría de su aprendizaje. Euclides llamó a un esclavo y le dijo: "Dale tres monedas a este muchacho, pues necesita ganar algo de cada cosas que aprende".   Texto tomado del libro  En el principio la geometría , de Javier Bracho y José Antonio de la Peña, UNAM, 1996.

En términos generales, la teoría de Morse trata del estudio de una variedad suave $M$ a través de funciones continuas $f:M\to \mathbb{R}$; en particular, estudia la relación que existe entre  los puntos críticos de una función $f$ con ciertos subespacios $M_t$, que forman una filtración para $M$. Algunos conceptos del cálculo Recordemos que la derivada de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está dada por  $$ Df(x)= \frac{d}{dx}f(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$ Un punto $x\in \mathbb{R}$ es crítico para $f$ si $Df(x)=0$; estos puntos son importantes pues representan los  máximos y los mínimos de la función, equivalentemente, son los puntos donde la función cambia de dirección.  En general, para una función de la forma $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, es posible definir puntos críticos a través de su  campo vectorial   gradiente : $$\nabla f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d,\;\; x\mapsto \nabla f(x) = \left[\frac{df}{dx_1}(x),\frac{df}{dx_2}(x),\ldots, \frac{df}{dx_d}(x)\righ

  Tomado de la página de cómics  https://xkcd.com/

Physical bodies can be studied in two ways: through their internal structure or through their interaction with known objects.... In topology,  homology theory corresponds to the former, while homotopy theory corresponds to the latter. Riemann, Topology, and Physics , Michael Monastyrsky, Birkhäuser, 2008.

No importa cuándo leas esto. (Tampoco importa quién lo lea)

En algún lado escuché que es más fácil aprender a pilotar un avión que entender qué fuerzas actúan en él para mantenerlo en el aire. En topología ocurre algo similar cuando se trata de homeomorfismos (deformaciones continuas) entre espacios: en muchas ocasiones es más fácil transmitir la idea ( el feeling) de la deformación que escribir la fórmula explícita de las funciones involucradas.  

En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A  lo largo de este texto $R$ denotará un anillo conmutativo con identidad.  Definiciones En términos generales, la homología de un espacio $X$ es la construcción de un funtor covariante $$ \mathcal{Top}\longrightarrow R\mathcal{Mod},\qquad X\mapsto H_*(X;R)=\{H_0(X;R),H_1(X;R), \ldots\} $$ que asocia a cada espacio topológico $X$ una colección de $R$-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos: $\bullet$ A partir de $X$, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de $R$-módulos: $$ \cdots \stackrel{}{\longrightarrow} C_{q+1}(X;R)\stackrel{\partial_{q+1}}{\longrightarrow} C_q(X;R)\stackrel{\partial_q}{\longrightarrow}C_{q-1}(X;R)\stackrel{}{\longrightarrow}$$ Es decir, una colección de $R$-módulos y $R$-homomo

Sean $\mathbb{F}$ un campo y $n$ entero positivo. Para un elemento $f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$, en el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$, consideramos $$D(f):=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)\neq 0\},$$ llamados conjuntos abiertos distinguidos . Afirmación : la colección $\mathcal{D}:=\{D(f)\;|\; f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]\}$ es una base para una topología en $\mathbb{F}^n$. Solución. Para el polinomio constante $1=1+0x_1+\cdots 0x_n$ se tiene que $D(1)=\mathbb{F}^n$. Por otro lado, para $D(f),D(g)\in \mathcal{D}$ tomamos el producto $f\cdot g$ de los polinomios correspondientes y notamos que $D(f)\cap D(g)=D(f\cdot g)$; asi que $D(f)\cap D(g)\in \mathcal{D}$. $\blacksquare$ La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski ; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados  $$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1

 Henry miró el reloj. Dos de la madrugada. Cerró el libro con desesperación. Seguramente que mañana sería reprobado. Entre más quería hundirse en la geometría, menos la entendía. Dos fracasos ya, y sin duda iba a perder un año. Sólo un milagro podría salvarlo. Se levantó ¿Un milagro? ¿Y por qué no? Siempre se había interesado en la magia. Tenía libros. Había encontrado instrucciones sencillísimas para llamar a los demonios y someterlos a su voluntad. Nunca había hecho la prueba. Era el momento: ahora o nunca. Sacó del estante el mejor libro sobre magia negra. Era fácil. Algunas fórmulas. Ponerse al abrigo en un pentágono. El demonio llega. No puede nada contra uno, y se obtiene lo que se quiera. Probemos. Movió los muebles hacia la pared, dejando el suelo limpio. Después dibujó sobre el piso, con un gis, el pentágono protector. Y después, pronunció las palabras cabalísticas. El demonio era horrible de verdad, pero Henry hizo acopio de valor y se dispuso a dictar su voluntad. - Siempre

En palabras de G. Carlsson: "Humans are really good at recognizing deformation invariant properties". Debido a esta habilidad, los humanos podemos leer una palabra independientemente de la fuente que haya sido usada al escribirla: topología topología topología topología topología topología topología topología topología La cita fue tomada del video de Gunnar Carlsson sobre el Análisis Topológico de Datos: