¿Qué es la homología?

En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A lo largo de este texto $R$ denotará un anillo conmutativo con identidad. 

Definiciones

En términos generales, la homología de un espacio $X$ es la construcción de un funtor covariante

$$ \mathcal{Top}\longrightarrow R\mathcal{Mod},\qquad X\mapsto H_*(X;R)=\{H_0(X;R),H_1(X;R), \ldots\} $$

que asocia a cada espacio topológico $X$ una colección de $R$-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos:

$\bullet$ A partir de $X$, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de $R$-módulos:

$$ \cdots \stackrel{}{\longrightarrow} C_{q+1}(X;R)\stackrel{\partial_{q+1}}{\longrightarrow} C_q(X;R)\stackrel{\partial_q}{\longrightarrow}C_{q-1}(X;R)\stackrel{}{\longrightarrow}$$

Es decir, una colección de $R$-módulos y $R$-homomorfismos que satisfacen $\partial_{i}\circ \partial_{i+1}=0, \forall i.$ 

$\bullet$ Una vez que se tiene el complejo de cadenas se consideran los cocientes sucesivos

$$H_q(X;R):=\frac{Z_q(X;R)}{B_q(X;R)},\qquad q\geq 0,$$

donde $Z_q(X;R)=ker \: \partial_q$ es llamado el submódulo de $q$-ciclos, y $B_q(X;R)=im \: \partial_{q+1}$ es llamado el submódulo de $q$-fronteras.

La construcción anterior es tal que si se tiene una función $f:X\to Y$ entonces se define una colección de $R$-homomorfismos:

$$ f_q:H_q(X;R)\longrightarrow H_q(Y;R), $$

determinados por la función $f$. Además la composición satisface $(g\circ f)_q=g_q\circ f_q$, para funciones $f:X\to Y, g:Y\to Z$; esto es, lo que induce una composición de funciones es la composición de lo que inducen cada una de ellas.

Los módulos de homología y la estructura del espacio

El cálculo de la homología de un espacio refleja de manera algebraica la estructura geométrica del dicho espacio como se ilustra a continuación:

1.- El módulo de homología $H_0(X;R)$ en dimensión cero es la suma directa $R \oplus \cdots \oplus R$, de tantas copias del anillo $R$ como el número de componentes conexas de $X$

2.- La homología $H_1(X;R)$ está intimamente relacionado con las curvas cerradas (simples) en $X$ y por tanto con los "hoyos" 1-dimensionales de dicho espacio. De hecho, si el espacio es arco-conexo entonces $H_1(X;R)$ es isomorfo a la abelianización del grupo fundamental $\pi_1(X)$. Además, la estructura de $H_1(X;R)$, especificamente la presencia o no de torsión, está relacionada con la orientabilidad de $X$

3.- En general, $H_k(X;R)$ detecta las posibles cuencas o huecos $k$ dimensionales de $X$. Un ejemplo de esto, es que la homología para la $n$-esfera $S^n$ está dada por

$$H_i(S^n;R)= \begin{cases} R,&i=0,n\\0,&\mbox{otro caso}\\ \end{cases}$$

lo cual muestra que la homología detecta el hueco $n$-dimensional de la $n$-esfera $S^n$.

4.- Los módulos de homología son invariantes homotópicos y topológicos; es decir, dos espacios homeomorfos u homotopicamente equivalentes tienen módulos de homología isomorfos. Esta propiedad es importante porque permite obtener la homología de diversos espacios conociendo la homología de los espacios a los que son "equivalentes"; por ejemplo, la homología de cualquier espacio euclidiano $R^n$ es trivial porque dichos espacios son contráctiles y su homología es isomorfa a la de un singletón.

5.- La homología es una construcción ideal para reflejar propiedades de un espacio respecto a cierto subespacio de él. Especificamente, si $A\subset X$ es subespacio entonces es posible relacionar las homologías mediante la construcción de una sucesión de la forma:

$$ \cdots \to H_{q+1}(A;R)\to H_{q+1}(X;R)\to H_{q+1}(X,A;R)\to H_{q}(A;R)\to \cdots,$$

donde el término $H_{q+1}(X,A;R)$ es llamado la homología relativa y puede interpretarse como manera de medir "la diferencia" entre las homologías de $X$ y $A$.

(Algunas) aplicaciones de la homología

Concluimos con una breve lista de algunos resultados de naturaleza geométrica que pueden obtenerse como consecuencia de algunos cálculos de homología y/o de 

1.- El Teorema de la Invarianza del Dominio establece que dos espacios euclidianos $\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m$, con $n\neq m$, no pueden ser homeomorfos. La prueba de este resultado con herramientas de la homología es bastante directa comparada con una demostración puramente topológica. Un resultado que se desprende de esto es la prueba de que las esferas $S^n,S^m$ no son del mismo tipo de homotopía, si $n\neq m$.

2.- Al conocer la homología de esferas es posible definir el concepto de grado para funciones de la forma $S^n\to S^n$. Una de las aplicaciones de la Teoría del Grado es la  existencia de campos vectoriales para esferas de dimensión impar, lo cual se usa en algoritmos de planeación motriz para brazos robóticos.

3.-  Para una $m$-variedad topológica $M$ y $x\in M$ se considera el grupo de homología relativa $H_m(M,M\backslash \{x\};\mathbb{Z})$ y se prueba que es isomorfo al grupo de los enteros $\mathbb{Z}$. La elección de un generador para este anillo, es decir, tomar $1$ ó $-1$, determina un método para estudiar nociones de orientabilidad local en variedades y, con esto, poder conectar con nociones del Cálculo Diferencial.

4.- La característica de Euler es un número asociado a una superficie triangulada $S$ y se define como $\chi(S)=v-a+c$, donde $v$ es el número de vértices, $a$ el número de aristas y $c$ el número de caras (triangulares). Además de generalizar la característica de Euler a espacios triangulados  de mayor dimensión, la homología puede usarse para mostrar que $\chi$ es un invariante homotópico y topológico, algo que no puede obtenerse de manera inmediata usando herramientas combinatorias y/o geométricas.

5.- En relación a lo mencionado arriba, las técnicas homológicas permiten obtener la prueba de versiones generales de diversos teoremas clásicos como el Teorema de Borsuk-Ulam, el Teorema de Lusternik-Shnirelmann, el Teorema de Punto Fijo de Brouwer, el de la Curva de Jordan,  entre otros.

Referencias

1.- Sobre homología en términos biológicos: https://ncse.ngo/que-es-homologia

2.- Sobre topología, homología y pantalones: https://www.youtube.com/watch?v=bGhrBHSVvig&t=354s

3.- Notas sobre homología en las que una clase de homología se relaciona con ciertos subespacios de una variedad: https://www.matem.unam.mx/~max/Minicursos/3variedades/3-Homologia.pdf

4.- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2010.