La topología de Zariski

Sean $\mathbb{F}$ un campo y $n$ entero positivo. Para un elemento $f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$, en el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$, consideramos

$$D(f):=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)\neq 0\},$$

llamados conjuntos abiertos distinguidos.

Afirmación: la colección $\mathcal{D}:=\{D(f)\;|\; f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]\}$ es una base para una topología en $\mathbb{F}^n$.

Solución. Para el polinomio constante $1=1+0x_1+\cdots 0x_n$ se tiene que $D(1)=\mathbb{F}^n$. Por otro lado, para $D(f),D(g)\in \mathcal{D}$ tomamos el producto $f\cdot g$ de los polinomios correspondientes y notamos que $D(f)\cap D(g)=D(f\cdot g)$; asi que $D(f)\cap D(g)\in \mathcal{D}$. $\blacksquare$

La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados 

$$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)= 0\}$$

También es común definir los cerrados de la topología considerando subconjuntos $E\subset \mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$  y definiendo $V(E)=\bigcap_{f\in E}V(f)$. 

Oscar Zariski (1899-1986)

La construcción de los cerrados $V(E)$ está muy relacionada con ciertos ideales del anillo polinomial; de hecho, los cerrado $V(E)$ pueden escribirse de manera única en términos de ideales: para el subconjunto $E\subset \mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$ denotamos por $I(E)$ al ideal generado por $E$ (es decir el ideal más pequeño que contiene a $E$) y notamos que $V(E)=V(I(E))$; véase [1], p. 42.

Referencias

1.- Marco Manetti, Topology, UNITEXT 91, Springer, 2015.