¿Qué es la teoría de Morse?

En términos generales, la teoría de Morse trata del estudio de una variedad suave $M$ a través de funciones continuas $f:M\to \mathbb{R}$; en particular, estudia la relación que existe entre los puntos críticos de una función $f$ con ciertos subespacios $M_t$, que forman una filtración para $M$.

Algunos conceptos del cálculo

Recordemos que la derivada de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está dada por 

$$Df(x)= \frac{d}{dx}f(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$

Un punto $x\in \mathbb{R}$ es crítico para $f$ si $Df(x)=0$; estos puntos son importantes pues representan los máximos y los mínimos de la función, equivalentemente, son los puntos donde la función cambia de dirección. 

En general, para una función de la forma $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, es posible definir puntos críticos a través de su campo vectorial gradiente:

$$\nabla f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d,\;\; x\mapsto \nabla f(x) = \left[\frac{df}{dx_1}(x),\frac{df}{dx_2}(x),\ldots, \frac{df}{dx_d}(x)\right]^T,$$

donde $(x_1,\ldots,x_d)$ es un sitema local de coordenadas para $\mathbb{R}^d$. Al igual que antes, se dice que $x\in \mathbb{R}^d$ es punto crítico si $\nabla f(x)=0$; en caso contrario se dice que el punto es regular. Para $d=2$ se tienen tres tipos de puntos críticos: mínimos, máximos y puntos silla. 

Por otra parte, la derivada direccional de $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ en la dirección  de  un vector unitario $v$, está dada por 

$$D_vf(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t\cdot v)-f(x)}{t}$$

En términos del producto interno euclidiano $\langle \;\rangle$ obtenemos que la derivada direccional satisface la relación $D_vf(x)= \langle \nabla f(x), v \rangle$, mostrando que los puntos críticos de la función son aquellos donde la derivada direccional se anula en cualquier dirección.

El lema de Morse 

Every mathematician has a secret weapon. 

Mine is Morse theory.

Raoul Bott, 2001.

Para una m-variedad diferenciable $M$ toda función diferenciable $f:M\to \mathbb{R}$ induce un campo vectorial $\nabla f: M\to TM,\;x\mapsto \nabla f(x)$, donde $TM$ es el espacio tangente $\cup_{x\in M} T_xM$. La definición del campo vectorial es similar a la dada arriba eligiendo un sistema local de coordenadas. También, al igual que antes, decimos que $x\in M$ es crítico si $\nabla f(x)=0$ y llamamos a su imagen $f(x)$ un valor crítico de la función; en caso contrario $x,f(x)$ son llamados punto regular y valor regular, respectivamente.

Los puntos críticos de una función $f:M\to \mathbb{R}$ pueden ser clasificados a través de la matriz hessiana de $f$:

$$Hess_f(x)=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_1}(x)&\cdots &\frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_m}(x)\\\frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1}(x)&\cdots &\vdots\\ \vdots &\ddots &\vdots \\\frac{\partial^2f}{\partial x_m \partial x_1}(x)&\cdots &\frac{\partial^2f}{\partial x_m \partial x_m}(x)\end{bmatrix},$$

donde $(x_1,x_2,\ldots, x_m)$ es un sistema local de coordenadas. Decimos que un punto crítico de $f$ es no degenerado si la matriz $Hess_f(x)$ tiene determinante no cero; en otro caso se dice que el punto crítico es degenerado. 

Los puntos críticos no degenerados son de gran importancia dentro de la teoría de Morse debido al siguiente resultado fundamental:

Lema de Morse.  Para toda función diferenciable $f:M\to \mathbb{R}$ y todo punto crítico no degenerado $p$ de $f$ existe un sistema local de coordenadas en una vecindad $U(p)$ de $p$ tal que:

(i) El punto $p$ tiene coordenadas $(0,0,\ldots,0)$

(ii) Para todo $x=(x_1,\ldots, x_m)\in U(p)$ el valor $f(x)$ puede ser expresado como

$$f(p)-x_1^2 -x_2^2 -\cdots -x_s^2 + x_{s+1}^2 + \cdots +x_m^2,$$

para algún $s=0,1,\ldots,m$.

El número $s$ del resultado anterior es llamado el índice del punto crítico $p$ y permite hacer una clasificación: un punto crítico es llamado mínimo si tiene índice $0$, es llamado máximo si tiene índice $m$; en otro caso es llamado punto silla. Observemos que en el caso de superficies, es decir $m=2$, sólo hay tres tipos de puntos críticos. 

Aunque el estudio de puntos críticos de funciones continuas no inicia con Marston Morse (1892-1977), sí es este el que le da un tratamiento especial al tema, ofreciendo una combinación muy particular de geometría diferencial con topología algebraica. La filosofía detrás de este enfoque se encuentra contenido en la obra clásica "The calculus of variations in the large" de 1934.

Funciones de Morse y topología

Una función diferenciable $f:M\to \mathbb{R}$ es llamada función de Morse si todos sus puntos críticos son no degenerados y tienen valores/imágenes distintas. Otro resultado importante de Morse es que este tipo de funciones forman un conjunto denso en el espacio de funciones continuas cuando la variedad es compacta ([4]), lo cual resulta muy conveniente pues se garantiza que existen suficientes funciones de Morse.

Para un intervalo $I\subset \mathbb{R}$ consideramos el subespacio 

$$M_I=f^{-1}(I)=\{x\in M\;|\; f(x)\in I\}$$

Notemos que si $t\in \mathbb{R}$ crece se obtiene una colección de subespacios $\{M_{\leq t}\}_{t\in \mathbb{R}}$ que inicia con $\emptyset$ y termina en $M$; es decir, se obtiene una filtración para $M$.

Para el intervalo $I=(-\infty,a]$ el subespacio $M_I$ es denotado por $M_{\leq a}$; para el caso $I=[a,\infty)$ usamos la notación $M_{\geq a}$. Un resultado de gran importancia dentro de la teoría es que si $M_{[a,b]}$ es compacto y no tiene puntos críticos de $f$, entonces $M_{\leq a}, M_{\leq b}$ son difeomorfos; más aún 

El ejemplo del 2-toro $T^2$

Consideremos el toro $T^2$ dispuesto en $\mathbb{R}^3$ de manera vertical y consideremos la función $f:T^2\to \mathbb{R}$ dada por la altura de los puntos en el toro; véase la figura de abajo

Notemos que la función tiene cuatro puntos críticos: un punto mínimo $u$, un máximo $z$ y dos puntos silla $v,w$. La colección de subespacios $\{M_{\leq a}\}_{a\in \mathbb{R}}$ define una filtración para el $2$-toro; la topología de los espacios cambia conforme se pasa por los valores críticos.

El espacio $M_{\leq a}$ es vacío para valores $a<f(u)$, $M_{\leq a}$ tiene el tipo de un disco para $f(u)<a<f(v)$; el espacio $M_{\leq a}$ es homeomorfo a un cilindro para $f(v)<a<f(w)$; para valores  $f(w)<a<f(z)$ el espacio $M_{\leq a}$ es homeomorfo a la superficie compacta conexa de género $1$ con una componente frontera; finalmente, para $a>f(z)$ el espacio es todo el $2$-toro $T^2$.

Desigualdades de Morse

Otro acierto en el trabajo de Morse es la manera en que se relacionan los puntos críticos de una función de Morse $f:M\to \mathbb{R}$ con los grupos de homología de $M$. Específicamente, si denotamos por $\beta_i$ al $i$-ésimo número de Betti (es decir, el rango de la $i$-ésima homología de $M$) y por $c_i$ al número de puntos críticos de $f$ de índice $i$, entonces para toda $i\geq 0$ se tienen las desigualdades de Morse:

$$c_i\geq \beta_i, \qquad \mbox{(versión débil)}$$

$$c_i-c_{i-1}+c_{i-2}-\cdots  \pm c_0\geq \beta_i-\beta_{i-1}+\beta_{i-2}-\cdots  \pm \beta_0, \qquad \mbox{(versión fuerte)}$$

En la versión débil también se tiene $\sum_i (-1)^ic_i=\sum_i (-1)^i\beta_i$.

Referencias

1.- Adams, H., Alvarado, E., An introduction to Morse Theory, video de YouTube disponible en el canal Applied Algebraic Topology Network. 

2.- Matsumoto, Y., An Introduction to Morse Theory, Translations of Mathematical Monographs Vol. 208, AMS, 2002

3.- Milnor, J., Morse Theory, Princeton University Press, 1969. 

4.- Morse, M., The calculus of variations in the large, American Mathematical Society, 1934