Bestiario Topológico

En términos generales, la teoría de Morse trata del estudio de una variedad suave $M$ a través de funciones continuas $f:M\to \mathbb{R}$; en particular, estudia la relación que existe entre  los puntos críticos de una función $f$ con ciertos subespacios $M_t$, que forman una filtración para $M$. Algunos conceptos del cálculo Recordemos que la derivada de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está dada por  $$ Df(x)= \frac{d}{dx}f(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$ Un punto $x\in \mathbb{R}$ es crítico para $f$ si $Df(x)=0$; estos puntos son importantes pues representan los  máximos y los mínimos de la función, equivalentemente, son los puntos donde la función cambia de dirección.  En general, para una función de la forma $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, es posible definir puntos críticos a través de su  campo vectorial   gradiente : $$\nabla f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d,\;\; x\mapsto \nabla f(x) = \left[\frac{df}{dx_1}(x),\frac{df}{dx_2}(...

Una pequeña colaboración con el canal de YouTube MATH2ME https://www.geogebra.org/m/ymwxkyna

Con la siguiente herramienta creada por Andrei Kashcha  @anvaka , puedes graficar campos vectoriales (independientes del tiempo). Pantalla completa:  https://anvaka.github.io/fieldplay/

Introducción Muchos fractales se forman realizando una acción simple una y otra vez, en una secuencia de pasos recursivos. En cada paso, el objeto inicial ( input ) puede ser una figura simple (una curva poligonal, por ejemplo) y el resultado ( output ) es una modificación de esa forma. A continuación presentamos un método para construir fractales con GeoGebra clásico. Para esto necesitaremos los siguientes comandos: Punto() Segmento() Secuencia() Elemento() Encadena() Longitud() Por supuesto, supondremos que tienes un conocimiento básico del programa. Si aún no lo conoces, te recomiendo el  Tutorial GeoGebra  donde puedes aprender los elementos básicos de GeoGebra clásico. Tampoco es necesario explicar aquí cada uno de los comandos mencionados arriba. Sin embargo, si deseas conocer los detalles de cada comando entonces consulta: Comandos GeoGebra. El conjunto de Cantor con GeoGebra Comencemos con el ejemplo más conocido: el conjunto de Cantor. Iniciamos nues...

1. Introducción El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6]. Leibniz Newton En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar...

Considera el sistema de ecuaciones diferenciales: $$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&bx+\sin(y)\\ \frac{dy}{dt}&=&-by+\sin(z)\\ \frac{dz}{dt}&=&-bz+\sin(x) \end{eqnarray*} $$ donde $b=0.19$. El siguiente interactivo muestra una curva solución y partículas moviéndose con base en la solución de las ecuaciones diferenciales anteriores. Para conocer otros atractores sigue el siguiente enlace: Strange attractors

En el siguiente enlace podrás descargar Una breve historia del concepto de derivada para iPad y iPhone. iTunes: Una breve historia del concepto de derivada

En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\ \frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\ \frac{dz}{dt} &= xy-cz \end{eqnarray*} El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema: En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz. Lorenz attractor: Simulación Ecuaciones: \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}...

Un campo vectorial dependiente del tiempo $$\mathbf v(x(t),y(t),t)=u(x(t),y(t),t)\,\mathbf i+v(x(t),y(t),t)\,\mathbf j,$$ es una construcción en cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales . También se puede escribir de forma breve como $$\mathbf  v(\mathbf x, t)=\mathbf  v(\mathbf x(t), t).$$ Esencialmente, un campo vectorial dependiente del tiempo cambia de deposición a medida que pasa el tiempo. Para cada instante del tiempo, se asocia un vector a cada punto en un espacio euclidiano o en una variedad. Un campo vectorial (o campo de velocidad) dependiente del tiempo puede representar la velocidad de flujo de un fluido ideal o sin viscosidad. Trayectorias y líneas de corriente Supongamos que nuestro fluido está contenido en una región $D\subset \mathbb R^2$ y $\mathbf x= (x,y)$ es una posición en $D$. El movimiento de cada partícula en el fluido está descrito por el campo de velocidad  $\mathbf v(\mathbf x(t), t)$. Su...

La siguiente función de flujo: $$\psi=Uy\Big(1-\frac{a^2}{x^2+y^2}\Big)-\frac{\Gamma}{4\pi}\log(x^2+y^2)$$ representa el flujo uniforme de un fluido que pasa alrededor de un cilindro de radio $a$, con circulación $\Gamma$ y velocidad $U$. Podemos ilustrar el flujo de partículas que se mueven con respecto a esta función de flujo. Para lograr esto, necesitamos las componentes del campo de velocidad $(u,v)$, el cual está determinado por el sistema de ecuaciones: $$u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\quad\text{y}\quad v=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$ En el interactivo de abajo, se utiliza el método Runge-Kutta de cuarto grado para resolver numéricamente dicho sistema. También se puede apreciar el comportamiento de las partículas para los siguientes valores $a=80$, $U=10$ ó $-10$ y $0<\Gamma<18000$. Considera la constante $$\textbf{g}=\frac{\Gamma}{4\pi a U}.$$ Observa en el interactivo qué sucede cuando la constante g  varía. Instrucciones: Solo mueve el cursor d...

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos: - En todo conjunto finito siempre existe un elemento  mínimo  y un  máximo . - Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un  máximo  y un  mínimo . - La  unión  de una cantidad  finita  de conjuntos finitos es un conjunto finito - La  intersección  de una cantidad  arbitraria  de conjuntos finitos es un conjunto finito En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades. Introducción El concepto de espacio  compacto  busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de esp...

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es: Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus cuya traducción podría ser: Cálculo Hecho Fácil: una introducción muy simple a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integra l El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors (algo así como Para liberarte de los terrores preliminares ), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas: El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar a...

Como se mencionó  previamente , es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico. Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales: Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$. Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia. Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir,                                  ...