Atractores extraños

En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz):

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\ \frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\ \frac{dz}{dt} &= xy-cz \end{eqnarray*}$$

El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema:

En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz.

Lorenz attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&a(y-x)\\ \frac{dy}{dt}&=&x(b-z)-y\\ \frac{dz}{dt}&=&xy-cz \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&10,\\ b&=&28,\\ c&=&8/3. \end{eqnarray*}$$

Más ejemplos de atractores extraños, con sus ecuaciones y parámetros, se muestran a continuación. Si deseas, también puedes interactuar con las simulaciones hechas con Processing.

Aizawa attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&(z-b)x-dy\\ \frac{dy}{dt}&=&dx+(z-b)y\\ \frac{dz}{dt}&=&c+az-\frac{z^3}{3}-(x^2+y^2)(1-ez)+czx^3 \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&0.3623,\\ b&=&0.5802,\\ c&=&0.3954,\\ d&=&3.3793,\\ e&=&0.224,\\ f&=&0.0187. \end{eqnarray*}$$

Chen attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&ax-yz\\ \frac{dy}{dt}&=&by+xz\\ \frac{dz}{dt}&=&cz+x\frac{y}{3} \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&5,\\ b&=&-10,\\ c&=&-0.38. \end{eqnarray*}$$

Dadras Attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&y-ax+byz\\ \frac{dy}{dt}&=&cy-xz+z\\ \frac{dz}{dt}&=&dxy-ez \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&3,\\ b&=&2.7,\\ c&=&1.7\\ d&=&2,\\ e&=&9. \end{eqnarray*}$$

Lorenz-84 attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&-y^2-z^2-ax+ac\\ \frac{dy}{dt}&=&xy-bxy-y+d\\ \frac{dz}{dt}&=&bxy+zx-z \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&1.11,\\ b&=&1.47,\\ c&=&4.49,\\ d&=&0.44 \end{eqnarray*}$$

Rössler attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&-(y-z)\\ \frac{dy}{dt}&=&x+ay\\ \frac{dz}{dt}&=&b+z(x-c) \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} a&=&0.2,\\ b&=&0.2,\\ c&=&5.7. \end{eqnarray*}$$

Thomas attractor: Simulación

Ecuaciones:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}&=&bx+\sin(y)\\ \frac{dy}{dt}&=&-by+\sin(z)\\ \frac{dz}{dt}&=&-bz+\sin(x) \end{eqnarray*}$$

Parámetros:

$$\begin{eqnarray*} b&=&0.19. \end{eqnarray*}$$

Para ver todos los atractores extraños juntos, da clic AQUí.

Referencias

[1] Deterministic Nonperiodic Flow, Edward N. Lorenz, 1963: American Meteorology Society, AMS Journals Online.

[2] The Essence of Chaos, Edward N. Lorenz, 1993, University of Washington Press, pp. 14-15. (In this book Lorenz describes how the expression butterfly effect appeared).