Bestiario Topológico

1. Introducción El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6]. Leibniz Newton En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar...

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En 1963, Edward Lorenz desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica [1]. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocido como el sistema de Lorenz (o ecuaciones de Lorenz): \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &= a (x- y) \\ \frac{dy}{dt} &= x(b-z)-y \\ \frac{dz}{dt} &= xy-cz \end{eqnarray*} El sistema Lorenz es notable por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz (atractor extraño) es un conjunto de soluciones caóticas del sistema Lorenz que, cuando se trazan, se asemejan a una mariposa o un ocho [2]. Las siguientes figuras muestran dos trayectorias diferentes para valores particulares de los parámetros en el sistema: En la simulación a continuación, puedes observar el movimiento de partículas descrito por el sistema de Lorenz. Lorenz attractor: Simulación Ecuaciones: \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}...

En esta (pequeña) entrada nos permitiremos traducir algunos párrafos del libro Calculus Made Easy de S.P. Thompson escrito en 1910 [1]. El título original del libro es: Calculus Made Easy: being a very-simplest introduction to those beautiful methods of reckoning which are generally called by the terrifying names of the Differential Calculus and the Integral Calculus cuya traducción podría ser: Cálculo Hecho Fácil: una introducción muy simple a aquellos hermosos métodos de conteo que generalmente son llamados con los terribles nombres de Cálculo Diferencial y Cálculo Integra l El primer capítulo, titulado To deliver you from the preliminary terrors (algo así como Para liberarte de los terrores preliminares ), consiste de dos páginas que nos disponemos a traducir pues rara vez puede encontrarse en los libros de texto explicaciones tan sencillas y a la vez tan ilustrativas: El terror preliminar, el cual asfixia a la mayoría de los chicos quinceañeros al intentar a...

Sean $\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral $y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$ donde $P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$. El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho, $k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo. Aclaración : lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations  de William F. Trench, disponible aquí . Primero observemos que al derivar a $y$ se obtiene $y'=e^{\alpha x}P(x)$. Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos $y=e^{\alpha x}u$; de donde se obtiene $(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$ Si $u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces $u_p$ se escribe como un polinomio $A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$. Así, la ecuación anterior tiene la forma ...

Funciones trigonométricas by Juancarlos Ponce

Perspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivada by Juancarlos Ponce