Otras palabras sobre espacios compactos

Recordemos que previamente mencionamos las siguientes propiedades de conjuntos finitos:

- En todo conjunto finito siempre existe un elemento mínimo y un máximo.
- Toda función continua definida en un conjunto finito alcanza un máximo y un mínimo.
- La unión de una cantidad finita de conjuntos finitos es un conjunto finito
- La intersección de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es un conjunto finito

En esta entrada mostraremos que los espacios compactos también tienen dichas propiedades.


Introducción

El concepto de espacio compacto busca, de cierta manera, generalizar los fenómenos mencionados arriba para conjuntos que no necesariamente son finitos. Esta es una de las motivaciones que dieron origen a la definición de espacio compacto como la daremos más adelante; otras incluyen el estudio de las propiedades de intervalos cerrados y acotados así como el estudio de espacios de funciones continuas; véase [3] para un recuento de la historia de compacidad.


Resultados relevantes

1.- La compacidad es un invariante topológico. Es decir, si $X$ es compacto y $Y$ es tal que $Y\cong X$, entonces $Y$ también es compacto; más aún, si tenemos dos espacios tal que uno es compacto y el otro no, entonces los espacios no pueden ser homeomorfos. Otra relación de la compacidad con la invarianza topológica es el siguiente resultado: si $X$ es compacto, $Y$ Hausdorff y $f:X\to Y$ continua y biyectiva, entonces $f$ es un homeomorfismo. Véase [1], Corolario 4.52 ó [2] Teorema 26.6.


2.- La unión finita de (subespacios) compactos es un compacto. Sean $C_1,C_2$ espacios compactos y $\mathcal{A}=\{A_i\}_{i\in I}$ cubierta abierta para la unión $C_1\cup C_2$. Dado que $\mathcal{A}$ es también cubierta abierta para $C_1$ y para $C_2$ existen $I_1,I_2\subset I$ finitos tales que

                                            $C_1\subset \bigcup_{i\in I_1}A_i,\qquad\qquad C_2\subset \bigcup_{i\in I_2}A_i$

De aquí que $C_1\cup C_2\subset \bigcup_{i\in I_2\cup I_2}A_i$; por lo que la unión de compactos es de nuevo un espacio compacto.


3.- La intersección de (subespacios) compactos es compacto. Sean $X$ espacio Hausdorff, $\mathcal{C}=\{C_i\}_{i\in I}$ colección de subespacios compactos de $X$ y hagamos $A=\cap_i A_i$. Puesto que $X$ es compacto, cada $A_i$ es cerrado (por lo visto en una entrada previa); de aquí que $A$ sea también un cerrado. Finalmente notemos que $A$ es cerrado en el compacto $A_i$, para cualquier $i\in I$, por lo que $A$ es compacto.


4.- Un subconjunto $A\subset \mathbb{R}$ es compacto si, y sólo si, es acotado y cerrado. Esta es una de las caracterizaciones más conocidas de un espacio compacto, es el llamado Teorema de Heine-Borel (en dimensión 1) y su demostración está basada en que la imagen de un compacto bajo una función continua es también un compacto y en el hecho de que el intervalo $[0,1]$ es compacto; véase [1], Corolario 4.50 ó [2] Teorema 27.3. En estas condiciones es inmediato notar que $A$ tiene un máximo y un mínimo.


5.- Toda función continua $f:X\to \mathbb{R}$, con $X$ compacto tiene un máximo y un mínimo. Este es llamado el Teorema del Valor Extremo y es una de las consecuencias de la caracterización del punto anterior; véase [1], Corolario 4.43 ó [2], Teorema 27.4

Nota final

Existe una gran variedad de resultados de Topología General (de Conjuntos) relacionados con la compacidad de un espacio (extensión de funciones continuas, compactificación de un espacio, Teoremas de Separación, Teorema de Tychonoff)  que no se mencionaron en esta entrada. Se hizo mención únicamente a los cinco resultados de arriba porque se quiso seguir con la analogía que existe entre los espacios compactos y los conjuntos finitos iniciada en una entrada previa.

Referencias

[1] M. Manetti, Topology, Unitext 91, Springer-Verlag, 2015
[2] J. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
[3] M. Raman-Sundstrom, A pedagogical history of compactness, 2014. Disponible en arXiv:1006.4131