Invitación a la Topología (parte II)

Como se mencionó previamente, es preciso contar con una definición más general de límite y de continuidad de manera que pueda aplicarse en varios contextos. Un primer paso para lograr esto es a través del concepto de espacio métrico.

Para calcular la distancia entre dos objetos se deben cumplir ciertas propiedades para que sea una operación útil y aplicable para calcular trayectorias, determinar lugares geométricos y para mediciones más elaboradas; las propiedades que debemos exigir son las usuales:

1. Se quiere que la distancia $d(x,y)$ entre $x,y$ sea un número positivo y que sea cero en el caso de que $x=y$.
2. Que la distancia de $x$ a $y$ sea la misma que la distancia de $y$ a $x$; es decir, que halla simetría en la determinación de la distancia.
3. Queremos que dos objetos que sean cercanos a un tercero sean cercanos entre si; es decir,

                                                           $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

          para cualesquiera $x,y,z$ objetos de $X$.

Si podemos definir la distancia entre cualquier par de elementos de un conjunto $X$ que satisface las condiciones de arriba entonces diremos que $X$ es un espacio métrico o que le estamos dando una estructura métrica. 

Resulta muy curioso que aunque el problema de determinar la distancia entre dos objetos sea muy antiguo, sólo fue hasta inicios del Siglo XX que se pudo formalizar (axiomatizar) su definición. Cabe mencionar que de las tres condiciones de arriba la tercera (la llamada Desigualdad del Triángulo) es la menos obvia y natural: ¿por qué el cálculo de la distancia debe satisfacer tal propiedad?

Maurice Fréchet

Dicha relación fue reconocida como un axioma en la definición de métrica por Maurice Fréchet (1878-1973), matemático francés que hizo grandes aportaciones a la Topología. La Desigualdad del Triángulo es introducida por Fréchet en su artículo de 1904 Généralisation d'un théoreme de Weierstrass y fue desarrollada posteriormente por él mismo en su tesis de 1906 Sur quelques points du Calcul fonctionnel. A partir de su trabajo se reconoció a la Desigualdad del Triángulo como una noción central en la tarea de calcular distancias en cualquier conjunto.

Sea $X$ un conjunto cualquiera y defina la función

                                          $d(x,y)=\begin{cases}1,&x\neq y\\0,&x=y \end{cases}$

No es difícil cerciorarse de que $d(x,y)$ es una métrica en $X$. Bajo estas condiciones $X$ es llamado el espacio métrico discreto. Observemos que con este ejemplo la idea de determinar distancias puede ser una tarea sumamente abstracta pues en muchos casos la naturaleza de los objetos del conjunto no tiene un papel importante; lo relevante está en la definición de la función distancia $d(x,y)$. Otro ejemplo.

Sean $X$ conjunto finito y $A,B$ cualesquiera subconjuntos de $X$. La función

                                                        $d(A,B)=|A|+|B|-2|A\cap B|$,

es una métrica en la colección de subconjuntos de $X$. Esta distancia está muy relacionada con la operación entre conjuntos

                                                            $(A\cup B)\backslash (A\cap B)$

llamada la diferencia simétrica de $A$ y $B$. De hecho, la distancia $d(A,B)$ representa el número total de elementos distintos entre $A$ y $B$, lo que puede tomarse como una manera de determinar que tan diferentes (o separados!) están los conjuntos.

Un ejemplo más: para $f,g$ funciones continuas definidas en el intervalo $[a,b]$ una manera de determinar qué tan diferentes son (o que tan distantes son) es mediante la definición 

                                                   $d(f,g)=\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Esta función no es del todo conveniente pues se pueden considerar funciones $f,g$ que difieran en una cantidad finita de puntos, en particular esto nos dice que $f\neq g$, y aún así tener que $d(f,g)=0$, lo cual iría en contra de los axiomas de un espacio métrico. Otra desventaja en esta definición es que funciones no acotadas, aproximadas por funciones acotadas, pueden arrojar distancias muy grandes, pudiendo llevar a contradicciones en la Desigualdad del Triángulo.

Este último ejemplo muestra que la noción de espacio métrico no es lo suficientemente general para ser usado en contextos donde deseamos definir límites y continuidad. Este es un de los papeles importantes de la Topología, ofrecer un terreno donde la noción de distancia sea lo suficientemente general para contener a todos los ejemplos anteriores como un caso particular.