Invitación a la Topología (parte I)

La continuidad de una función es uno de los conceptos más importantes y fascinantes de las matemáticas y, contrario a lo que todos pensamos la primera vez que vimos su definición, puede establecerse en términos muy simples: un función $f$ es continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz de la hoja; es decir, que la gráfica de $f$ no tiene cortes o brincos; véase la figura de abajo donde se muestra la gráfica de una función que ``brinca'' en el origen

La descripción anterior es ilustrativa pero es complicado usarla en casos como el de la función

                              $f(x)=\begin{cases}x\sin (1/x),&x\neq0\\0,&x=0 \end{cases},$

cuya gráfica se muestra abajo

En términos geométricos, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $x_0$ siempre que puntos cercanos a $x_0$ tengan imágenes muy cercanas a $f(x_0)$. Pero, ¿qué significa estar cerca?, ¿qué distancia debe haber entre dos puntos para ser considerados cercanos? Estas consideraciones son resueltas mediante la introducción de la notación $\epsilon$-$\delta$ (épsilon-delta) de Bernand Bolzano (1781-1848) para el concepto del límite de una función: decimos que $f$ es continua en $x_0\in \mathbb{R}$ si para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que

                                                                $|f(x)-f(x_0)| <\epsilon$

siempre que los puntos $x$ satisfagan

                                                                       $|x-x_0|<\delta$

Resulta pertinente hacer algunas observaciones acerca de la definición anterior: recordemos que la desigualdad $|x|<a$ es equivalente a la expresión $-a<x<a$. De aquí se sigue que las expresiones de arriba no son otra cosa más que los intervalos abiertos simétricos

                                        $f(x_0)-\epsilon<f(x_0)<f(x_0)+\epsilon,% \Rightarrow (x-\delta,x+\delta)$

                                                              $x_0-\delta<x_0<x_0+\delta$

llamados la $\epsilon$-vecindad de $f(x_0)$ y la $\delta$-vecindad de $x_0$, respectivamente. El nombre viene de la manera en que tales expresiones se representan geométricamente:

La ventaja de esta aproximación a la continuidad mediante el concepto de límite radica en que ahora es posible estudiar funciones atípicias como la función de Dirichlet dada por:

                           $f(x)=\begin{cases} 1,&x\;\mbox{racional}\\ 0,&x\;\mbox{irracional} \end{cases}$

Aún así lo que se obtiene es que $f$ es continua en los racionales y en los irracionales pero no es (para nada!) continua en todos los números reales.

Lo mencionado anteriormente, respecto a límites y continuidad, aplica también para números complejos pero es preciso extender dichos conceptos a situaciones más generales pues uno de los propósitos de la matemática es generalizar y unificar conceptos con la intención de crear verdades universales. Más aún, al notar que la continuidad es un concepto clave en el desarrollo de otras áreas del conocimiento como la física, astronomía, entre otras, se busca generalizar su definición a terrenos no Euclidianos; abajo un ejemplo:

La medición de la temperatura de una región en el planeta depende de tres variables $t_1,t_2,t_3$ (altura, longitud y altitud) pues las tres determinan por completo la localización exacta de la región. Si cada variable toma valores en la recta real $\mathbb{R}$ entonces la medición de la temperatura $t$ se representa como una función

                                       

                                          $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\;\;\; (t_1,t_2,t_3)\longmapsto t$

¿Qué significa que la función $T$ sea continua?, ¿cómo se establece dicha continuidad? Las respuestas a estas preguntas son sencillas pues la continuidad se obtiene generalizando la definición dada antes a un mayor número de variables; esto da lugar al Cálculo de múltiples variables. 

La Fotografía Aérea consiste en hacer un análisis de la superficie terrestre mediante la toma de fotografías captadas por dispositivos instalados en artefactos voladores como un avión o un dron. La fotografía obtenida dependerá de la posición del dispositivo en el aire, la cual es determinada por tres coordenadas espaciales.

Si denotamos por $S$ a la superficie de la tierra entonces la toma de una fotografía aérea se interpreta como una función de la forma $\mathcal{A}:\mathbb{R}^3\to S$, que asigna a cada posición del dispositivo, la región que se está fotografiando. 

En términos informales podemos decir que la función $\mathcal{A}$ de arriba es continua si al cambiar ligeramente de posición el dispositivo, las fotografías obtenidas difieren ligeramente. Pero, ¿cómo expresamos formalmente la continuidad de la función?, ¿qué significado tienen los $\epsilon,\delta$ de la definición de continuidad en este nuevo contexto donde $S$ ya no es un espacio Euclidiano?

Al igual que en la situación anterior, existe otros fenómenos (sociológicos, económicos, biológicas) que son descritos como una función en las que es preciso tener un concepto de continuidad formal, más amplio y que generalice el concepto clásico. Este es el propósito de la Topología, indagar en el concepto de continuidad para hallar sus conceptos centrales y buscar una manera de generalizarlos.

Referencias

1.- Wu, J., From Calculus to Topology. Disponible en su página.

2.- Atanasov, A., Topology and Continuity. Disponible aquí.