Proyección estereográfica
En esta entrada continuaremos con lo expuesto hace días acerca de la compactificación unipuntual del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$.
Tomemos la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ y consideremos la circunferencia
$C=\{(x,y) | x^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2\}$
para definir $h:C\to \widetilde{\mathbb{R}}$ como sigue:
- $h(N)=\infty$, para $N=(0,1)$
- $h(x)$ es el punto en el eje $X$ donde la linea que parte de $N$ y que pasa por $x\in C$ corta a dicho eje; véase la figura de abajo
Claramente $h$ es una función continua. Para ver que $h$ es homeomorfismo tomamos $x\in \mathbb{R}$, trazamos la linea entre $x$ y el punto $N$; el punto de intersección de la recta con la circunferencia define la inversa de $h$. Esto prueba que la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ es un espacio homeomorfo a la circunferencia $S^1$.
El caso de la esfera unitaria $S^2$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ es muy similar a lo hecho para el caso unidimensional de arriba: tomemos polo norte $N=(0,0,1)$ e identifiquemos a $\mathbb{R}^n$ con el hiperplano $H\subset \mathbb{R}^{n+1}$ dado por la ecuación $x_n=0$. La proyección estereográfica es la función $h:S^n\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^n$, donde $h(x)$ es la intersección de $H$ con la linea determinada por $x$ y $N$.
En general, para $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ se define $h:S^n\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^n$ mediante
$f(x)=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
Su inversa está dada por $g(y_1,y_2,\ldots, y_n)=(ty_1,ty_2,\ldots,ty_n, 1-t)$, donde
$t=\frac{2}{1+(y_1)^2+(y_2)^2+\cdots+(y_n)^2}$
Así, la compactificación de $\mathbb{R}^n$ es la esfera $S^n$, la cual es subespacio compacto de $\mathbb{R}^{n+1}$ debido a que es el espacio solución de la ecuación
$\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2 -1=x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{n+1}-1$
También puede verse que la esfera es un subespacio compacto usando el Teorema de Heine-Borel.
Cabe mencionar que en lo expuesto arriba la elección del "polo norte" para definir la proyección estereográfica es arbitraria e irrelevante: pudimos haber escogido cualquier otro punto de la esfera y rotarla hasta que el punto estuviera en la posición del polo norte.
Aspecto visual
Henry Segerman es un profesor e investigador de la Universidad del Estado de Oklahoma que realiza investigaciones en Topología y Geometría. Su reciente libro Visualizing Mathematics with 3D Printing hace uso de la impresión 3D para mostrar teoremas y objetos matemáticos (como nudos!) que hasta ahora resultaban dificiles de visualizar. Entre los objetos incluidos en dicho libro se encuentra la proyección estereográfica $h:S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ donde el polo norte es agrandado volviendose un casquete y donde la imágen de la función $h$ se ilustra mediante el uso de una lámpara, a manera de faro; véase esta página para ilustraciones y este video para una presentación más dinámica.
Existen otros videos en internet que ilustran la proyección estreográfica. Y es que dicha función puede ser usada para dibujar la superficie de la tierra en un mapa. Recomendamos ampliamente al lector el video, perteneciente a la serie Dimensions, une promenade mathématique, proyecto francés creado en el 2008 y producido por Jos Leys, Etienne Ghys y Aurélien Alvarez. En tal video se mencionan algunas caracteristicas de la proyección estereográfica respecto a la invarianza de distancias, círculos, meridianos.
Comentarios finales
Una característica relevante de la proyección estereográfica es que permite "observar" toda la esfera $S^3$ (excepto uno de sus puntos) en el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$; esto es sobresaliente pues la esfera $S^3$ es un objeto que, por definición, pertenece al espacio de dimensión 4. En ese sentido podemos considerar que el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ es una imagen de la esfera $S^3$ salvo un punto.
El caso de la proyección estereográfica $S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ es de gran importancia dentro de la Teoría de Gráficas pues aporta un nuevo modelo para estudiar gráficas planas debido al siguiente resultado: una gráfica es plana si, y sólo si se puede encajar en la esfera. Es decir, una gráfica plana puede ser estudiada en el plano $\mathbb{R}^2$ o en su compactificación y ambos modelos son equivalentes.
Finalmente mencionaremos que la proyección estereográfica $S^n\backslash\{N\}\cong \mathbb{R}^n$ muestra que la esfera $S^n$ es muy parecida al espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ (forlmalmente se dice que $S^n$ es localmente $\mathbb{R}^n$). Más aú, esto prueba que $S^n$ es una $n$-variedad topológica; véase esta entrada.
$C=\{(x,y) | x^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2\}$
para definir $h:C\to \widetilde{\mathbb{R}}$ como sigue:
- $h(N)=\infty$, para $N=(0,1)$
- $h(x)$ es el punto en el eje $X$ donde la linea que parte de $N$ y que pasa por $x\in C$ corta a dicho eje; véase la figura de abajo
Claramente $h$ es una función continua. Para ver que $h$ es homeomorfismo tomamos $x\in \mathbb{R}$, trazamos la linea entre $x$ y el punto $N$; el punto de intersección de la recta con la circunferencia define la inversa de $h$. Esto prueba que la compactificación $\widetilde{\mathbb{R}}$ es un espacio homeomorfo a la circunferencia $S^1$.
El caso de la esfera unitaria $S^2$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ es muy similar a lo hecho para el caso unidimensional de arriba: tomemos polo norte $N=(0,0,1)$ e identifiquemos a $\mathbb{R}^n$ con el hiperplano $H\subset \mathbb{R}^{n+1}$ dado por la ecuación $x_n=0$. La proyección estereográfica es la función $h:S^n\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^n$, donde $h(x)$ es la intersección de $H$ con la linea determinada por $x$ y $N$.
En general, para $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ se define $h:S^n\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^n$ mediante
$f(x)=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
Su inversa está dada por $g(y_1,y_2,\ldots, y_n)=(ty_1,ty_2,\ldots,ty_n, 1-t)$, donde
$t=\frac{2}{1+(y_1)^2+(y_2)^2+\cdots+(y_n)^2}$
Así, la compactificación de $\mathbb{R}^n$ es la esfera $S^n$, la cual es subespacio compacto de $\mathbb{R}^{n+1}$ debido a que es el espacio solución de la ecuación
$\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2 -1=x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{n+1}-1$
También puede verse que la esfera es un subespacio compacto usando el Teorema de Heine-Borel.
Cabe mencionar que en lo expuesto arriba la elección del "polo norte" para definir la proyección estereográfica es arbitraria e irrelevante: pudimos haber escogido cualquier otro punto de la esfera y rotarla hasta que el punto estuviera en la posición del polo norte.
Aspecto visual
Henry Segerman es un profesor e investigador de la Universidad del Estado de Oklahoma que realiza investigaciones en Topología y Geometría. Su reciente libro Visualizing Mathematics with 3D Printing hace uso de la impresión 3D para mostrar teoremas y objetos matemáticos (como nudos!) que hasta ahora resultaban dificiles de visualizar. Entre los objetos incluidos en dicho libro se encuentra la proyección estereográfica $h:S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ donde el polo norte es agrandado volviendose un casquete y donde la imágen de la función $h$ se ilustra mediante el uso de una lámpara, a manera de faro; véase esta página para ilustraciones y este video para una presentación más dinámica.
Existen otros videos en internet que ilustran la proyección estreográfica. Y es que dicha función puede ser usada para dibujar la superficie de la tierra en un mapa. Recomendamos ampliamente al lector el video, perteneciente a la serie Dimensions, une promenade mathématique, proyecto francés creado en el 2008 y producido por Jos Leys, Etienne Ghys y Aurélien Alvarez. En tal video se mencionan algunas caracteristicas de la proyección estereográfica respecto a la invarianza de distancias, círculos, meridianos.
Comentarios finales
Una característica relevante de la proyección estereográfica es que permite "observar" toda la esfera $S^3$ (excepto uno de sus puntos) en el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$; esto es sobresaliente pues la esfera $S^3$ es un objeto que, por definición, pertenece al espacio de dimensión 4. En ese sentido podemos considerar que el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ es una imagen de la esfera $S^3$ salvo un punto.
El caso de la proyección estereográfica $S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ es de gran importancia dentro de la Teoría de Gráficas pues aporta un nuevo modelo para estudiar gráficas planas debido al siguiente resultado: una gráfica es plana si, y sólo si se puede encajar en la esfera. Es decir, una gráfica plana puede ser estudiada en el plano $\mathbb{R}^2$ o en su compactificación y ambos modelos son equivalentes.
Finalmente mencionaremos que la proyección estereográfica $S^n\backslash\{N\}\cong \mathbb{R}^n$ muestra que la esfera $S^n$ es muy parecida al espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ (forlmalmente se dice que $S^n$ es localmente $\mathbb{R}^n$). Más aú, esto prueba que $S^n$ es una $n$-variedad topológica; véase esta entrada.
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