Proyección estereográfica

De Miguel A. Maldonado - enero 26, 2017

En esta entrada continuaremos con lo expuesto hace días acerca de la compactificación unipuntual del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ .

Tomemos la compactificación

˜ R

$\widetilde{\mathbb{R}}$ y consideremos la circunferencia

C = {(x, y) | x^{2} + (y - 1 / 2)^{2} = (1 / 2)^{2}}

$C=\{(x,y) | x^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2\}$

para definir

h : C \to ˜ R

$h:C\to \widetilde{\mathbb{R}}$ como sigue:

-

h (N) = \infty

$h(N)=\infty$ , para

N = (0, 1)

$N=(0,1)$
-

h (x)

$h(x)$ es el punto en el eje

X

$X$ donde la linea que parte de

N

$N$ y que pasa por

x \in C

$x\in C$ corta a dicho eje; véase la figura de abajo

Claramente

h

$h$ es una función continua. Para ver que

h

$h$ es homeomorfismo tomamos

x \in R

$x\in \mathbb{R}$ , trazamos la linea entre

x

$x$ y el punto

N

$N$ ; el punto de intersección de la recta con la circunferencia define la inversa de

h

$h$ . Esto prueba que la compactificación

˜ R

$\widetilde{\mathbb{R}}$ es un espacio homeomorfo a la circunferencia

S^{1}

$S^1$ .

El caso de la esfera unitaria

S^{2}

$S^2$ en el espacio euclidiano

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ es muy similar a lo hecho para el caso unidimensional de arriba: tomemos polo norte

N = (0, 0, 1)

$N=(0,0,1)$ e identifiquemos a

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ con el hiperplano

H \subset R^{n + 1}

$H\subset \mathbb{R}^{n+1}$ dado por la ecuación

x_{n} = 0

$x_n=0$ . La proyección estereográfica es la función

h : S^{n} ∖ {N} \to R^{n}

$h:S^n\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^n$ , donde

h (x)

$h(x)$ es la intersección de

H

$H$ con la linea determinada por

x

$x$ y

N

$N$ .

En general, para

S^{n} \subset R^{n + 1}

$S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ se define

h : S^{n} ∖ {N} \to R^{n}

$h:S^n\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^n$ mediante

f (x) = \frac{1}{1 - x_{n + 1}} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$f(x)=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

Su inversa está dada por

g (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) = (t y_{1}, t y_{2}, \dots, t y_{n}, 1 - t)

$g(y_1,y_2,\ldots, y_n)=(ty_1,ty_2,\ldots,ty_n, 1-t)$ , donde

t = \frac{2}{1 + (y_{1})^{2} + (y_{2})^{2} + \dots + (y_{n})^{2}}

$t=\frac{2}{1+(y_1)^2+(y_2)^2+\cdots+(y_n)^2}$

Así, la compactificación de

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ es la esfera

S^{n}

$S^n$ , la cual es subespacio compacto de

R^{n + 1}

$\mathbb{R}^{n+1}$ debido a que es el espacio solución de la ecuación

\sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{2} - 1 = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n + 1}^{2} - 1

$\sum_{i=1}^{n+1}x_i^2 -1=x^2_1+x^2_2+\cdots +x^2_{n+1}-1$

También puede verse que la esfera es un subespacio compacto usando el Teorema de Heine-Borel.

Cabe mencionar que en lo expuesto arriba la elección del "polo norte" para definir la proyección estereográfica es arbitraria e irrelevante: pudimos haber escogido cualquier otro punto de la esfera y rotarla hasta que el punto estuviera en la posición del polo norte.

Aspecto visual

Henry Segerman es un profesor e investigador de la Universidad del Estado de Oklahoma que realiza investigaciones en Topología y Geometría. Su reciente libro Visualizing Mathematics with 3D Printing hace uso de la impresión 3D para mostrar teoremas y objetos matemáticos (como nudos!) que hasta ahora resultaban dificiles de visualizar. Entre los objetos incluidos en dicho libro se encuentra la proyección estereográfica

h : S^{2} ∖ {N} \to R^{2}

$h:S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ donde el polo norte es agrandado volviendose un casquete y donde la imágen de la función

h

$h$ se ilustra mediante el uso de una lámpara, a manera de faro; véase esta página para ilustraciones y este video para una presentación más dinámica.

Grid (stereographic projection) by Henry Segerman on Sketchfab

Existen otros videos en internet que ilustran la proyección estreográfica. Y es que dicha función puede ser usada para dibujar la superficie de la tierra en un mapa. Recomendamos ampliamente al lector el video, perteneciente a la serie Dimensions, une promenade mathématique, proyecto francés creado en el 2008 y producido por Jos Leys, Etienne Ghys y Aurélien Alvarez. En tal video se mencionan algunas caracteristicas de la proyección estereográfica respecto a la invarianza de distancias, círculos, meridianos.

Comentarios finales

Una característica relevante de la proyección estereográfica es que permite "observar" toda la esfera

S^{3}

$S^3$ (excepto uno de sus puntos) en el espacio tridimensional

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ ; esto es sobresaliente pues la esfera

S^{3}

$S^3$ es un objeto que, por definición, pertenece al espacio de dimensión 4. En ese sentido podemos considerar que el espacio tridimensional

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ es una imagen de la esfera

S^{3}

$S^3$ salvo un punto.

El caso de la proyección estereográfica

S^{2} ∖ {N} \to R^{2}

$S^2\backslash \{N\}\to \mathbb{R}^2$ es de gran importancia dentro de la Teoría de Gráficas pues aporta un nuevo modelo para estudiar gráficas planas debido al siguiente resultado: una gráfica es plana si, y sólo si se puede encajar en la esfera. Es decir, una gráfica plana puede ser estudiada en el plano

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ o en su compactificación y ambos modelos son equivalentes.

Finalmente mencionaremos que la proyección estereográfica

S^{n} ∖ {N} ≅ R^{n}

$S^n\backslash\{N\}\cong \mathbb{R}^n$ muestra que la esfera

S^{n}

$S^n$ es muy parecida al espacio euclidiano

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ (forlmalmente se dice que

S^{n}

$S^n$ es localmente

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ ). Más aú, esto prueba que

S^{n}

$S^n$ es una

n

$n$ -variedad topológica; véase esta entrada.

Buscar este blog

Bestiario Topológico

Proyección estereográfica

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares

Galileo Galilei y su ley de caída libre

Breve historia del Cálculo

Una historia de la Teoría de Conjuntos