El concepto de variedad diferenciable (parte II)

(Esta entrada es la continuación del tema sobre la noción de variedad diferenciable)

Recordemos que una variedad diferenciable es el objeto obtenido al añadir dos estructuras a un conjunto, una topológica y una diferencial, con ciertas condiciones técnicas que comentaremos a continuación.

Decimos que un espacio topológico $M$ es una $n$-variedad topológica si es un espacio Hausdorff, segundo numerable y localmente Euclidiano de dimensión $n$. Es decir, para cada punto $x\in M$ existe una vecindad $U$ y un homeomorfismo $\varphi: U\rightarrow O$, con $O$ abierto de $\mathbb{R}^n$. Una pareja $(U,\varphi)$ es llamada una carta coordenada para $M$ si $U$ es un subespacio abierto de $M$ y $\varphi$ es un homeomorfismo de $U$ a un abierto de $\mathbb{R}^n$.

Primero recordemos que un espacio Hausdorff $M$ es aquel en el que para cada par de puntos distintos $x,y\in M$ existen subconjuntos abiertos ajenos $U,V$ tales que $p\in U$ y $q\in V$. La condición de ser Hausdorff suele imponerse en muchas situaciones para evitar comportamientos no deseados; en particular, es una consecuencia de ser Hausdorff que todo subconjunto finito es un subespacio cerrado y que además todo sucesión convergente tiene un límite único, cosa que no pasa como en el caso de la topología trivial $\{M,\emptyset \}$ donde no hay suficientes subespacios abiertos para evitar casos patológicos. 

El Lema del Pegado es un resultado básico de Topología General que permite construir funciones continuas mediante el pegado de funciones continuas que coinciden en cierto subespacio. La dificultad de generalizar este resultado al contexto de las variedades diferenciables es que aún logrando pegando dos funciones diferenciables, el resultado pudiera no ser una función diferenciable. Por otro lado, recordemos que un espacio topológico se llama segundo numerable si su topología cuenta con una base numerable; es decir, es un espacio en el que es posible construir los abiertos de la topología usando una colección numerable de subconjuntos. Una de las consecuencias de ser segundo numerable es ser paracompacto (=toda cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito) y además garantizar la existencia de una partición de la unidad. Es ésta última propiedad la que permite generalizar el Lema del Pegado a funciones entre variedades diferenciables pues es posible construir funciones que tengan un determinado comportamiento en algún subconjunto dado.

Recordemos que para poder realizar operaciones del cálculo diferencial en una variedad topológica es preciso pedir diferenciabilidad a las funciones de cambio de coordenadas. Decimos que dos cartas coordenadas $(U,\varphi),(V,\psi)$, con $U\cap V\neq \varnothing$, son compatibles si la función

$\psi\circ\varphi^{-1}: \varphi(U\cap V)\rightarrow \psi(U\cap V)$

es un difeomorfismo (en el sentido del cálculo diferencial de varias variables). Definimos un atlas en $M$ como una colección de cartas coordenadas que cubren a $M$ y diremos que el atlas es diferenciable si cualesquiera dos cartas coordenadas son compatibles. Una estructura diferenciable para una variedad topológica $M$ es la elección de una atlas diferenciable maximal; es decir, que cualquier carta coordenada de $M$ sea compatible con cualquier carta coordenada del atlas diferenciable. Finalmente, diremos que una $n$-variedad topológica $M$ es una $n$-variedad diferenciable si se ha elegido un atlas diferenciable maximal para $M$. 

Ejemplos de variedades

El espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$ tiene una estructura diferenciable estándar dada por la carta coordenada $(\mathbb{R}^n,Id)$. Dado un homeomorfismo $\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ se define otra estructura mediante $(\mathbb{R}^n,\phi)$. Si esta nueva estructura no es compatible con la estructura estándar, en el sentido de que la composición $Id\circ \phi^{-1}$ no sea diferenciable, entonces se obtiene una estructura diferenciable diferente a la estandar. Éste procedimiento puede ser realizado en cualquier otra variedad planteando el problema de determinar cuántas estructuras diferenciables puede tener una variedad.

Consideremos un espacio vectorial $V$ de dimensión finita con base $\{ e_1,e_2,\ldots, e_n \}$ y definamos

$E:\mathbb{R}^n \to V, \qquad x \mapsto  \sum_i^{n} x^i e_1$

donde $x^i$ es la $i$-ésima coordenada de $x$. Notemos que $E$ es isomorfismo y que si $V$ está dotado de una norma (que induce una estructura de espacio topológico) entonces es también un homeomorfismo. La pareja $(V,E^{-1})$ induce una estructura diferencial y es independiente de la base elegida.

Recordemos que el conjunto $M_{mn}(\mathbb{R})$ de matrices con entradas reales es un espacio vectorial de dimensión $mn$ bajo la suma de matrices y la multiplicación escalar. Derivado del ejemplo anterior se tiene que $M_{mn}(\mathbb{R})$ es una $mn$-variedad diferenciable.  De la misma manera, el espacio vectorial $M_{mn}(\mathbb{C})$ de matrices con entradas complejas es una $2mn$-variedad diferenciable. 

Aunque no se mencionó el concepto de subvariedad resulta muy natural: un subconjunto abierto $N\subset M$ de una variedad $M$ es una subvariedad si es una variedad por si misma. En ese sentido, el subespacio $GL(n,\mathbb{R})$ de matrices cuadradas invertibles es una $n^2$-variedad diferenciable pues es subconjunto abierto del espacio vectorial $M_{nn}(\mathbb{R})$ de matrices cuadradas.

Finalmente consideremos, para $0\leq k\leq n$, el espacio $G(n,k)$ de los espacios vectoriales de dimensión $k$ en $\mathbb{R}^n$. Usando herramientas del álgebra lineal es posible construir una estructura diferenciable para obtener que $G(n,k)$ es una $k(n-k)$-variedad diferenciable llamada Variedad de Grassman.

El teorema de Whitney

Es de notar que los últimos ejemplos mencionados arriba pueden resultar poco familiares, sobre todo si se intenta visualizarlos de alguna forma. Más aún, resulta un poco complicado tener la imágen clásica de diferenciabilidad pues, por ejemplo, un punto en una variedad de Grassman $G(n,k)$ es un espacio vectorial de dimensión $k$.

Como se ha mencionado a lo largo de estas notas, el concepto de variedad diferenciable inicia con un conjunto al que se le añaden las estructuras topológica y diferenciable mediante el concepto de carta coordenada. En la definición de variedad diferenciable existe la posibilidad de ''pegar'' una cantidad grande (enorme!) de cartas coordenadas lo cual puede resultar en un objeto abstracto fuera de lo que nuestra imaginación pudiera crear. Pero, a pesar de la complejidada del objeto algunas propiedades geométricas pueden ser develadas: toda $n$-variedad diferenciable $M$ puede ser encajada en $\mathbb{R}^{2n+1}$. Este resultado es conocido como el Teorema Débil del Encaje de Whitney y, en términos generales, afirma existen una $n$-variedad diferenciable $\tilde{M}$ dada como subconjunto de $\mathbb{R}^{2n+1}$ y una función diferenciable uno-a-uno $M\rightarrow \tilde{M}$, obteniendo con esto que ambos objetos poseen las mismas propiedades.

Más aspectos relativos a variedades diferenciables serán abordados en textos futuros.