Bestiario Topológico

Recordemos  que el Problema de Nielsen consiste en determinar qué subgrupos del grupo modular $\Gamma (S_g)$ pueden ser representados en $Top(S_g)$. Por ejemplo, dado $H\subset \Gamma (S_g)$ con $H=<h>$ cíclico infinito, ¿es cierto que $h$ es de orden infinito? Hagamos $g=0$ y consideremos el grupo modular $\Gamma(S^2)$. En 1926 H. Kneser publica el resultado que afirma que todo homeomorfismo de $S^2$ que preserva orientación es isotópico a una rotación; el análogo diferenciable se debe a S. Smale . En el caso de considerar el grupo modular $\Gamma^{\pm}(S^2)$ de todos los homeomorfismos (los que preservan orientación y los que no) se tiene que $\Gamma^{\pm}(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2=\{1,a\}$, donde $1$ es la identidad y $a$ es la función antipodal $x\mapsto -x$. Así, todo el grupo $\Gamma^{\pm}(S^2)$ queda representado por las funciones identidad y antipodal. Tomemos el caso $g=1$. Recordemos el isomorfismo $\Gamma(S_g)\cong Out \pi_1(S_...

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...

El Grupo Modular de una Superficie