Transformaciones de Möbius

De Carlos Ponce - septiembre 23, 2015

Las transformaciones de Möbius son funciones racionales complejas de la forma $$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$

donde $a,b,c$ y $d$ son constantes complejas tales que $ad-bc\neq 0$.

Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius (1790-1868), aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas.

August Möbius (1790-1868)
Source: Wikipedia

Las propiedades matemáticas de las transformaciones de Möbius se estudian en los cursos de variable compleja. Por ejemplo, se sabe que dichas transformaciones son funciones meromórficas (de hecho el grupo de automorfismos meromóficos del plano extendido $\mathbb C_{\infty}$ consiste precisamente de transformaciones de Möbius) y además son funciones conformes en todas partes. También estas transformaciones poseen la siguiente propiedad geométrica:

Los arcos de circunferencias son transformados (o mapeados) en arcos de circunferencias.

La caracterización de las transformaciones de Möbius como automorfismos meromórficos del plano complejo extendido se puede interpretar geométricamente. Podemos identificar el plano extendido con la esfera unitaria en $\mathbb R^3$. Esto es, identificamos el plano complejo con el plano $x_3=0$ en $\mathbb R^3$ y lo mapeamos a la esfera unitaria por medio de una proyección inversa estereográfica desde el polo norte. En este caso el punto al infinito en $\mathbb C_{\infty}$ corresponde con el polo norte. De esta manera, las transformaciones de Möbius corresponden con los automorfismos meromórficos de esta esfera de Riemann. Sin embargo, no es del todo obvia la apariencia de los automorfismos holomórficos de la esfera y, de hecho, es complicado tener una idea clara de las transformaciones de Möbius usando esta aproximación.

Podemos usar la proyección estereográfica para caracterizar las transformaciones de Möbius de una manera distinta, la cual es elegante y visualmente accesible. Consideremos una esfera admisible $S$ en $\mathbb R^3$, si su polo norte se encuentra en el espacio superior $H=\{x_3>0\}$, y para tales esferas, denotamos por $P_S$ la proyección estereográfica desde el polo norte $x_{0}$ de $S$, el cual identifica $\mathbb C_{\infty}$ con $S$. Elijamos una esfera con esas características, y consideramos un movimiento rígido $T$ de $\mathbb R^3$ tal que $S':=TS$ también es admisible, es decir, $Ts_0\in H$. Consideremos la composición $P_{S'}\circ T\circ P_S^{-1}$, la cual mapea $\mathbb C_{\infty}$ en sí mismo. No es complicado verificar que la composición es una transformación de Möbius, ya sea por cálculos directos o desde un punto de vista avanzado, debido a que corresponde con el mapeo desde $S$ hacia sí mismo dado por $P_S^{-1}\circ P_{S'}\circ T$, el cual es un automorfismo holomórfico.

En realidad, cada transformación de Möbius se puede obtener de esta manera. Esto se establece en el siguiente teorema, cuya demostración se puede consultar en Arnold & Rogness (2008):

Teorema: Un mapeo complejo es una transformación de Möbius si y sólo si dicho mapeo se puede obtener por medio de una proyección estereográfica del plano complejo hacia una esfera admisible en $\mathbb R^3$, seguida de un movimiento rígido de la esfera en $\mathbb R^3$ el cual se mapea a otra esfera admisible, seguida de una proyección estereográfica hacia el plano.

De esta manera, es posible visualizar en el espacio algunas de las propiedades geométricas de las transformaciones de Möbius, tales como la inversión, traslación, dilatación y rotación de arcos de circunferencias. En las siguientes imágenes se muestra la inversión en el plano y su proyección estereográfica en el espacio:

En las siguientes imágenes se muestra una combinación de traslación, inversión y rotación animada en el plano y su proyección estereográfica en el espacio: