¿Para qué ya NO sirven los logaritmos?

1. Los logaritmos en el contexto escolar

Los logaritmos se estudian, generalmente, en los primeros cursos de matemáticas a nivel Universitario. Claro que en las carreras de matemáticas, o ciencias duras, se estudian con más profundidad debido a sus múltiples aplicaciones. En los cursos (y en los libros también) se explica que el logaritmo es el exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtener otro número determinado. O si se prefiere, más formalmente:

Definición: Sea $b>0$ y $b\neq 1$. Si $x$ es un número positivo real, escribimos $$\log_b x$$ para designar el logaritmo de $x$ en base $b$, el cual es el único número real $y$ que satisface $x=b^y.$

También se estudian las famosas propiedades (o leyes) de logaritmos:

• $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$
• $\log_a\left( \dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_ay$
• $\log_a \left( x^p\right)=p\log_a x$.

En la práctica, trabajando en México y Australia, he observado que constantemente se enseñan los logaritmos de una forma muy específica en los cursos de matemáticas. Primero, se presenta la teoría; después, los estudiantes deben memorizar la definición y las propiedades, (aunque no siempre con un completo entendimiento de su significado); posteriormente, los estudiantes usan la teoría para resolver problemas, los cuales tienen un contexto determinado por la aplicación de los logaritmos. Algunos de los primeros problemas que los estudiantes deben resolver son como los siguientes:

• Calcular el valor de $x$, si $7^{x+3}=7^{5x-3}.$
• Resuelve la ecuación $\log\left(\frac{10x}{3}\right)-2=\log\left(\frac{1}{10}\right)$.

Estos problemas tienen la finalidad de desarrollar las capacidades algebraicas de los estudiantes para resolver problemas de aplicaciones como el siguiente:

Problema: La ley de enfriamiento de Newton establece que cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo. Esto se puede establecer por medio de una ecuación diferencial. Sea $T(t)$ la temperatura del objeto en el tiempo $t$, y sea $T_s$ la temperatura constante del ambiente. Entonces, de acuerdo con la ley de Newton, tenemos que  $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s),$$ donde $\frac{dT}{dt}$ es la razón a la cual la temperatura del objeto cambia. La solución de esta ecuación diferencial es la expresión: $$T-T_s=(T_0-T_s)e^{-kt},$$ donde $T_0$ es la temperatura del objeto en el tiempo $t=0$.  Supongamos que una taza con un líquido se enfría, a partir de 90 grados centígrados, hasta 60 grados centígrados después de 10 minutos en una habitación cuya temperatura era de 20 grados centígrados.  a) ¿Cuánto tiempo tardaría dicho líquido para enfriarse hasta 35 grados centígrados?  b) Si la taza, con una temperatura inicial de 90 grados centígrados, se pone en un congelador cuya temperatura es de -15 grados centígrados, ¿cuánto tiempo tardaría en enfriarse desde los 90 hasta los 35 grados centígrados?

Los problemas mencionados arriba pueden resolverse siguiendo un método específico, el cual funciona la mayoría de las veces. Esto es, se debe aplicar la definición de logaritmo y alguna de sus propiedades a una expresión establecida; después se debe realizar un poco de álgebra para, finalmente, encontrar el resultado deseado. 

Por ejemplo, para resolver la expresión $\log\left(\frac{10x}{3}\right)-2=\log\left(\frac{1}{10}\right)$, primero notemos que $2=\log100$. Entonces

$$\log\left(\frac{10x}{3}\right)-\log100=\log\left(\frac{1}{10}\right)$$

$$\log\left(\frac{\frac{10x}{3}}{100}\right)=\log\left(\frac{1}{10}\right)$$

$$\frac{10x}{300}=\frac{1}{10}$$

$$100x=300$$

$$x=3.$$

Un problema que observo con la enseñanza de los logaritmos es que, por lo general, se omite la historia de su origen y de cómo fueron adoptados por la comunidad científica debido a que eran una herramienta muy eficaz para realizar cálculos tediosos durante más de 300 años. Por supuesto, con el desarrollo de las computadoras, los logaritmos se volvieron obsoletos para calcular operaciones tediosas. Sin embargo, el concepto de logaritmo permanece vigente porque juega un papel fundamental en diferentes ramas de las matemáticas, como por ejemplo en el Cálculo y Análisis Complejo. De hecho, muchos de los procesos físicos y biológicos que se estudian en diversos campos científicos se pueden modelar por medio de logaritmos.

2. ¿Para qué ya NO se usan los logaritmos? 

Imagina por un momento que vives en el año 1879 y necesitas calcular la expresión

$$x=\sqrt[3]{\frac{493.8\times \left(23.67\right)^2}{5.104}}.$$

Por supuesto, esto no es una tarea fácil y seguramente te tomará bastante tiempo, considerando que no existen calculadoras, ni computadoras, ni mucho menos internet. Sin embargo, podemos usar logaritmos para calcular la expresión, lo cual será más rápido y fácil. En particular, para esta tarea necesitamos una tabla de logaritmos en base 10 como la que se muestra en la Figura 1 (la cual todavía se puede encontrar en algunos libros de álgebra o cálculo). También necesitamos las propiedades de logaritmos arriba mencionadas. En lo siguiente explico de manera breve cómo realizar los cálculos usando logaritmos. Si estás interesado en saber con mayor detalle el método y la terminología se pueden consultar el libro clásico Tablas Matemáticas (3ra ed. 1981) de Arquímedes Caballero et al. (o si prefieres puedes consultar los siguientes blogs: Matemáticas III y Cómo usar logaritmos).

Figura 1: Tabla de logaritmos.

Comenzamos primero cambiando el radical por un exponente fraccionario, es decir

$$x=\left(\frac{493.8\times \left(23.67\right)^2}{5.104}\right)^{1/3}.$$

Aplicando el logaritmo en ambos lados obtenemos

$$\log x=\frac{1}{3}\left(\log (493.8)+2\log (23.67)-\log (5.104)\right).$$

Ahora podemos calcular cada logaritmo, usando la sección Partes Proporcionales de la tabla para agregar el valor dado al valor dado en la tabla principal. Por ejemplo, para calcular $\log (493.8)$, localizamos la hilera que comienza con $49$, y nos movemos hasta la columna $3$ (donde encontramos la entrada $6928$). Después buscamos bajo la columna 8 en las Partes Proporcionales donde encontramos la entrada $7$ (ver Figura 1). Sumamos este valor a $6928$ para obtener $6935$. Dado que $493.8 $está entre $100$ y $1000$, la característica es $2$. Entonces obtenemos $\log 493.8 =2.6935$. Lo mismo se puede hacer para calcular los demás logaritmos. La siguiente tabla muestra los cálculos completos de los logaritmos en cuestión:

Para la última parte hemos usado una tabla de antilogaritmos, es decir, logaritmos en reversa. En este caso buscamos el número $.5780$ (llamado mantisa) y encontramos la entrada $3784$ (ver Figura 2). Dado que la característica de $1.5780$ es $1$, entonces sabemos que el número debe estar entre $10$ y $100$. De esta manera $x=37.84$, redondeado a dos decimales.

Figura 2: Tabla de anti logaritmos.

¿Qué opinas? ¿Suena complicado? Claro, si actualmente usas tu calculadora y tu computadora para realizar cálculos parecidos. Sin embargo, con algo de entrenamiento y experiencia, el cálculo anterior se puede completar en menos de tres minutos. En una calculadora tomará sólo unos segundos realizar el cálculo e incluso con mayor precisión. Si usamos WolframAlpha, por ejemplo, se muestra lo siguiente:

Enlace: Aquí

Obviamente, los logaritmos ya no se usan para este tipo de cálculos. Sin embargo, desde el siglo XVII hasta la introducción de las calculadoras electrónicas, a mediados del siglo XX, la forma más eficaz (y quizá la única) para realizar cálculos fue, sin lugar a dudas, por medio de logaritmos. Por esta razón, los logaritmos tuvieron gran aceptación y popularidad dentro de la comunidad científica y su uso se extendió desde Europa hasta China y, más tarde, en todo el mundo. Incluso hasta la década de 1970, los logaritmos (y las tablas de logaritmos) se usaban ampliamente en todas partes y, más aún, formaban parte de los programas de estudio en los cursos de álgebra o cálculo. 

El desarrollo de las computadoras, y su fácil acceso a estas, ocasionó que los logaritmos (así como las tablas de logaritmos) se volvieran obsoletos, además porque en muchas ocasiones la tablas contenían errores. Entonces, ¿para qué seguimos usando logaritmos, si tenemos mejor tecnología para hacer engorrosos cálculos? Los logaritmos han permanecido debido a sus aplicaciones, pero en otros contextos en diferentes ramas de las ciencias duras, no sólo en matemáticas. Los logaritmos naturales, así como los logaritmos en base 10, son herramientas imprescindibles en la medida de las magnitudes cuyas medidas son muy grandes. Por ejemplo, los terremotos tienen que ser medidos con logaritmos dado a su amplia energía desprendida; la cual provoca catástrofes. Para medir la magnitud de los terremotos, se creó la Escala de Richter, la cual establece unos determinados valores según la cantidad de energía que liberan, es decir, midiendo la amplitud de las ondas sísmicas en superficie. Richter definió la magnitud ($M$), utilizando el logaritmo mediante la siguiente fórmula:

$$M = \log A + C.$$

También se pueden usar los logaritmos para medir la intensidad del brillo de las estrellas. Por ejemplo Sirio, una de las estrellas más brillantes en el firmamento, tiene una magnitud de $-1.6.$ En cambio, la estrella polar, brilla con una magnitud de $2.1$. Esto significa que Sirio, visto desde la Tierra, brilla unas $30$ veces más aproximadamente. En matemáticas avanzadas, el logaritmo natural permite describir cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de números naturales. A esto se le conoce como el Teorema de los números primos, el cual establece que:

$$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x},$$

donde $\pi(x)$ es la función contador de números primos, la cual denota la cantidad de números primos que no exceden a $x$.

Como los anteriores existen muchos ejemplos. Desafortunadamente, las aplicaciones de los logaritmos no se aprecian en los primeros cursos. De hecho, la mayoría de las personas que estudian logaritmos desarrollan una percepción negativa hacia estos debido, posiblemente, a que se estudian de manera muy sistemática.

3. ¿Quién inventó los logaritmos?

El matemático escocés John Napier (1550-1617) es generalmente reconocido como el primero en definir los logaritmos, aunque no en la manera como son definidos actualmente. En 1614, Napier publicó su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Una descripción de la maravillosa ley de los logaritmos) donde expone la teoría y presenta las tablas de logaritmos en las que trabajó por casi 20 años. Napier usó la palabra 'logaritmo' en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) cuyo significado es número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Cabe mencionar que el matemático suizo Joost Bürgi (1552-1632) también desarrolló, de manera independiente, el concepto de logaritmo; sin embargo, dado que Napier publicó primero su obra, el trabajo de Bürgi quedó relegado.

Figura 3: Obra de Napier.

El matemático inglés Henry Briggs (1561-1631) propuso a Napier cambiar la escala de sus logaritmos, a lo cual Napier aceptó. Esto implicaba realizar nuevamente numerosos cálculos, los cuales Napier no pudo completar. Sin embargo, esta tarea fue completada por Briggs quien publicó, en 1624, su obra Arithmetica Logarithmica, la cual contiene tablas de logaritmos en base 10 de aproximadamente treinta mil números hasta catorce decimales de exactitud. Desde entonces se produjeron y publicaron cientos de libros con tablas de logaritmos, las cuales también se usaban para calcular valores específicos de funciones trigonométricas. Actualmente, algunas tablas de logaritmos se pueden encontrar fácilmente en las bibliotecas virtuales, como por ejemplo: The Internet Archive.

Figura 4: Obra de Briggs.

Cabe enfatizar que el 'logaritmo' de Napier difiere al concepto que usamos actualmente. En nuestro caso, usando la definición de logaritmo dada al inicio, tenemos por ejemplo que el logaritmo de $100$ en base $10$ es $2$. En otras palabras,  

$$\log_{10}100=2\quad\Longleftrightarrow\quad 10^2=100.$$ 

Otros ejemplos son los siguientes:

$$\log_{2}8=3\quad\Longleftrightarrow\quad 2^3=8,$$

$$\log_{11}14641=4\quad\Longleftrightarrow\quad 11^4=14641.$$  

En los anteriores ejemplos observamos que los logaritmos son números enteros y, además, es relativamente sencillo realizar los cálculos. Pero cómo podemos calcular los siguientes:

\[\log_{5}8\approx 1.29202.\]

$$\log_{2}32.15\approx 5.00674.$$

En general, ¿cómo se calcula el logaritmo de un número sin usar una calculadora? ¿Cómo definió Napier su logaritmo y en qué difiere al actual concepto de logaritmo? ¿Cómo se construyeron las tablas de logaritmos? Trataré de responder estas preguntas en la siguiente sección.

3.1 El 'logaritmo' de Napier y la construcción de tablas de logaritmos

La idea que Napier usó para elaborar sus tablas de logaritmos tiene que ver, en esencia, con las progresiones geométricas. Si denotamos a $r$ como la razón común, podemos definir la siguiente progresión:

$$\ldots, r^{-3},r^{-2},r^{-1},r^{0}=1,r^1,r^2,r^3,\ldots$$

Notemos que cada término es la potencia de la razón común $r$ y, además, los exponentes $\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ forman una progresión aritmética (en una progresión aritmética la diferencia entre dos términos sucesivos es constante, en este caso 1). Esta relación es la idea fundamental detrás de los logaritmos y Napier la utilizó para extender los exponentes a un continuo rango de valores. 

Napier consideró el siguiente razonamiento: Si podemos escribir cualquier número positivo como una potencia de algún otro número dado, un número fijo (el cual más tarde se llamaría 'base'), entonces la multiplicación y la división de números sería equivalente a la adición y sustracción de sus exponentes. Más aún, elevando un número a su $n$-ésima potencia (es decir, multiplicarlo por sí mismo $n$ veces) sería equivalente a sumar el exponente $n$ veces a él mismo --esto es, multiplicarlo por $n$-- y finalmente la raíz $n$-ésima de un número sería equivalente a $n$ sustracciones repetitivas --esto es, la división de $n$. En resumen, cada operación aritmética se reduciría a una operación de menor jerarquía, lo cual reduciría los cálculos tediosos. 

Ilustremos con unos ejemplos como funciona lo antes mencionado, usando la base $2$. La tabla 1 muestra potencias sucesivas de $2$, desde $n=-3$ hasta $n=12$. Supongamos que deseamos multiplicar $32$ por $128$. Buscamos en la tabla los exponentes correspondientes a $32$ y $128$; en la cual encontramos $5$ y $7$, respectivamente. Sumando estos exponentes obtenemos $12$. Ahora, de manera inversa, buscamos el número que corresponde al exponente $12$; este número es $4\,096$, el cual es la respuesta deseada. Como segundo ejemplo, supongamos que deseamos calcular $4^5$. En este caso buscamos primero el exponente que corresponde a $4$, el cual es $2$, y en esta ocasión multiplicamos por $5$ para obtener $10$. Finalmente, buscamos el número cuyo exponente es $10$ y encontramos que es $1024$. De manera simplificada, esto es

$$(4)^5=(2^2)^5=2^{10}=1024.$$

Tabla 1: Potencias de 2.

Claramente, este elaborado método es innecesario para calcular con números enteros; el método sería más práctico si podemos trabajar con cualquier número, ya sea entero o fraccionario. Pero para que esto suceda necesitamos llenar los espacios entre cada entrada de la tabla. Podemos hacer esto de dos maneras: 1) usando exponentes fraccionarios; o 2) eligiendo la razón común $r$ (de la progresión geométrica) de tal manera que sea lo suficientemente pequeña para que las potencias crezcan lentamente. 

Los exponentes fraccionarios, definidos como $a^{m/n}=\sqrt[n]{m}$, no eran conocidos todavía en el siglo XVII, así que Napier no tuvo otra opción más que usar una razón en particular. ¿Pero qué tan pequeña puede ser esta razón? No es difícil convencernos de que si la razón es un número demasiado pequeño, sus potencias crecerán muy lentamente, lo cual daría lugar a un sistema de poca utilidad en la práctica. Después de muchos años de meditación, Napier decidió que el número más conveniente, para dicha razón, sería:

$$r=1-10^{-7}\quad\text{o}\quad r=0.999999.$$

Con esto establecido Napier se dio a la tarea de calcular los términos sucesivos de su progresión por medio de la sustracción repetitiva y tediosa. Esta debe haber sido una tarea nada inspiradora; sin embargo, Napier la llevó a cabo, y de hecho, le tomó 20 años de su vida (entre 1594 y 1614).

Para evitar realizar cálculos con decimales Napier multiplicó cada potencia de $r=1-10^{-7}$ por $10^7$. De esta manera, si $N=10^7(1-10^{-7})^L$, entonces $L$ es el 'logaritmo' (Neperiano) del número $N$. En este contexto, el 'logaritmo' de $10^7$ es $0$ y el 'logaritmo' de $10^7(1-10^{-7})$ es $1$. Esto último es una diferencia importante con respecto a la la definición moderna (dada por Euler en 1728): Si $N=b^L$, donde $b$ es un número fijo positivo diferente de 1, entonces $L$ es el logaritmo (en base $b$) de $N$. Considerando esta definición tenemos que $L=0$ corresponde a $N=1$, es decir, $\log_b 1=0$.

Finalmente, cabe mencionar que Napier, además de realizar los tediosos cálculos para crear sus tablas, estableció los fundamentos de su trabajo de manera geométrica, probablemente debido a la influencia de Los Elementos de Euclides.

3.2 Un ejemplo de los cálculos de Napier

A continuación mostraremos, de manera breve, el método usado por Napier para crear sus tablas de logaritmos. En nuestro caso, usaremos una base en particular para facilitar los cálculos. 

Definamos $a=\left(1-0.1\right)^{10}$ como nuestra base. Nuestro objetivo es calcular $a^{0.1}$. Esto es

$$a^{0.1}=\left(\left(1-0.1\right)^{10}\right)^{0.1}=(1-0.1)^{1}=1-0.1=0.9$$

Si ahora deseamos calcular $a^{0.2}$, repetimos el proceso, es decir

$$a^{0.2}=\left(\left(1-0.1\right)^{10}\right)^{0.2}=\left(1-0.1\right)^{2}=\left(1-0.1\right)\left(1-0.1\right)\\=0.9\left(1-0.1\right)=0.9-0.09=0.81$$

De manera similar podemos calcular $a^{0.3}$, esto es

\[a^{0.3}=\left(\left(1-0.1\right)^{10}\right)^{0.3}=\left(1-0.1\right)^{3}=\left(1-0.1\right)^{2}\left(1-0.1\right)\\=0.81\left(1-0.1\right)=0.81-0.081=0.729\]

Como podemos apreciar, en los anteriores cálculos sólo hemos usado la sustracción y la definición previa de las potencias de $a$. Este proceso se puede repetir para calcular 

$$a^{0.4},a^{0.5},a^{0.6},\dots$$

Con base en lo anterior podemos construir la siguiente tabla:

Básicamente, este fue el método que Napier utilizó para crear sus tablas, pero con el número $$a=10^7(1-10^{-7}).$$

4. Comentarios finales

Los logaritmos se inventaron con el propósito de reducir cálculos que involucran la multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas/cúbicas de números. Así lo expresa el mismo Napier en el prefacio de su obra publicada en 1614:

Ya que nada es más tedioso, colegas matemáticos, en la práctica de las artes matemáticas, que el tiempo invertido en el tedio de largas multiplicaciones y divisiones, el cálculo de proporciones, y en la extracción de raíces -cuadradas y cúbicas- y, además de considerar el tiempo invertido, existe también la molestia de los diversos errores que pueden surgir [...]

La utilidad de los logaritmos fue apreciada por la comunidad científica, desde el siglo XVII hasta mediados del siglo XX, y su uso se extendió por todo el mundo. Veinte años de trabajo, para hacer tablas logarítmicas y trigonométricas, realizado por una sola persona hizo posible llevar a cabo análisis científicos usando papel y lápiz que de otra manera hubieran tomado una gran cantidad de tiempo.

Aunque en la actualidad ya no se utilizan los logaritmos para realizar cálculos tediosos (pues las computadoras realizan esta tarea de manera eficaz y rápida), el concepto de logaritmo permanece vigente en matemáticas, y en distintas ramas científicas, debido a sus múltiples aplicaciones.

Referencias

• Briggs, H. (1624). Arithmetica Logarithmica. Enlace en Inglés: Aquí.
• Merzbach, U. C. & Boyer, C. B. (2011). A History of Mathematics. 3rd. ed. USA: John Wiley & Sons.
• Maor, E. (1994). e the story of a number. Princeton University Press. USA.
• Napier J. (1614)  Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Enlaces: Latín Aquí,  Inglés Aquí.
• Napier, J. (1619)  Mirifici logarithmorum canonis constructio. Enlaces: Latín Aquí, Inglés Aquí.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "John Napier", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. Enlace: Aquí.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Jost Bürgi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. Enlace: Aquí.