Bestiario Topológico

En este video tutorial sobre GeoGebra explico cómo crear #árboles fractales artísticos utilizando transformaciones geométricas básicas, recursión y aleatoriedad. En el video cubro los puntos principales, pero también puedes encontrar más detalles y applets en línea en los enlaces que están abajo. Enlace en YouTube:  https://youtu.be/jPUv45HWgiQ Versión en Inglés: https://youtu.be/ymIdJX70zjM Suscríbete a mi canal

Disfruten de esta animación del fractal llamado Dragón dorado, junto con un dodecaedro. Ambos tienen en común la razón dorada. Gracias por su apoyo: Patreon

¡Hola a todos! Este año está por terminar y solo queremos agradecer su visita a este blog y su apoyo. Últimamente hemos visto muchas visitas y varios usuarios han dejado sus comentarios en algunas entradas. Es un gusto saber que es de útilidad para muchas personas.  Les deseamos felices fiestas. Nuestros mejores deseos para el próximo año 2024. Attentamente: Juan Carlos y Miguel Ángel

Tenemos el gusto de presentar este proyecto: Invitación a la Topología General Este material ha sido elaborado para usarse como notas de curso para las materias de Topología que se imparten en la Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Zacatecas. Sin embargo, esperamos que sea de utilidad a cualquier persona interesada en estudiar esta hermosa rama de las matemáticas.

Introducción teórica Un péndulo simple es aquel que tiene una barra rígida , ingrávida y no experimenta fricción . Se piensa que todo el peso del péndulo simple se concentra en su masa sujeta al extremo, representada por lo general con un objeto esférico. Como de costumbre, estamos simplificando demasiado el problema real para poder ver correctamente sus componentes esenciales. A continuación derivaremos una ecuación que nos dé la posición del péndulo en función del tiempo, pero primero debemos decidir qué sistema de coordenadas podemos usar. Puede parecer que el sistema cartesiano $xy$ habitual puede ser útil aquí, pero debemos tener algo de cuidado. Nuestra tarea es encontrar la posición en función del tiempo. Si la posición en sí está dada por dos coordenadas, $x$ e $y$, entonces terminaremos con un problema que involucra tres variables : $x$, $y$ para la posición y $t$ para el tiempo. Si podemos evitar esto, estaríamos mejor. Después de todo, probl...

Introducción En 2008 Santiago Ginnobili y Christián C. Carman publicaron un ejemplo de un sistema de epiciclos trazando una órbita formando la figura del famoso personaje de caricaturas, Homero Simpson. En ese mismo año Santiago Ginnobili publicó en su canal de YouTube la animación de dicha órbita: Desde entonces, esta animación ha causado admiración y revuelo en las redes sociales, en particular en las comunidades interesadas en las matemáticas, e incluso muchas personas han realizados sus propias versiones. Aquí surgen varias preguntas. ¿Cómo se calculan los radios de cada uno de los círculos? ¿Cómo se calculan las velocidades de rotación de cada epiciclo? En general, ¿cómo Santiago Ginnobili y Christián C. Carman lograron hacer esta animación? En realidad detrás de esta construcción se encuentra escondida la Transformada Discreta de Fourier (TDF), lo cual he mencionado en una entrada anterior ( Dibujando curvas cerradas con epiciclos ) pero no...

Introducción La Transformada Discreta de Fourier (TDF) transforma una sucesión de $n$ números complejos  $$\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\}$$ en otra sucesión de números complejos $$\{X_0, X_1, \ldots, X_{N-1}\}$$ por medio de la fórmula \begin{eqnarray} X_k &=&\; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{- i \, k \frac{2 \pi}{N}\, n}\qquad(k = 0, 1,\ldots, N-1)\nonumber\\ &=& \; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_j \left[ \cos \left( k \, \frac{2\pi}{N} \, n \right) - i\, \sin \left(k\, \frac{2\pi}{N}\,n\right) \right]\label{four} \end{eqnarray} La segunda expresión se obtuve usando la fórmula de Euler $e^{it} = \cos t + i \text{sin}\, t$. Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos la siguiente sucesión de números complejos: $$\mathbf x = \left\{ 1, 2-i, -i, -1+2i \right\}$$ Al aplicar la TDF (\ref{four}) tenemos: \begin{equation} \begin{aligned} X_{0}= {} &\frac{1}{4} \big[ 1\cdot e^{-...

Una pequeña colaboración con el canal de YouTube MATH2ME https://www.geogebra.org/m/ymwxkyna

Introduction Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c ...

Introducción En Variable Compleja se estudian las series de números complejos. Estas se pueden representar geométricamente usando segmentos de líneas y calculando sumas parciales. En algunos casos surgen patrones muy interesantes visualmente que pueden ser estudiados matemáticamente. Un ejemplo es el caso la suma exponencial de la forma $$\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i f(n)}$$ donde $f(n)$ es una función definida en el conjunto de los enteros positivos. Este tipo de sumas se utilizan en diferentes problemas de teoría de números. En esta entrada, mostraré algunos ejemplos y observaremos los gráficos de algunos casos que muestran simetrías muy interesantes y artísticas. Espirales y otros patrones geométricos de sumas exponenciales complejas Comencemos analizando la función $f(n)=(\ln n)^4$. Si tomamos $N=2400$, el gráfico que obtenemos es el siguiente: Este gráfico fue denominado como el "Monstruo del Lago Ness" por John Loxton en su artículo de 1981 [1]. Para explicar...