Simulación del péndulo simple con GeoGebra (y oscilaciones amortiguadas)

Introducción teórica

Un péndulo simple es aquel que tiene una barra rígida, ingrávida y no experimenta fricción. Se piensa que todo el peso del péndulo simple se concentra en su masa sujeta al extremo, representada por lo general con un objeto esférico. Como de costumbre, estamos simplificando demasiado el problema real para poder ver correctamente sus componentes esenciales.

A continuación derivaremos una ecuación que nos dé la posición del péndulo en función del tiempo, pero primero debemos decidir qué sistema de coordenadas podemos usar. Puede parecer que el sistema cartesiano $xy$ habitual puede ser útil aquí, pero debemos tener algo de cuidado. Nuestra tarea es encontrar la posición en función del tiempo. Si la posición en sí está dada por dos coordenadas, $x$ e $y$, entonces terminaremos con un problema que involucra tres variables: $x$, $y$ para la posición y $t$ para el tiempo. Si podemos evitar esto, estaríamos mejor. Después de todo, problemas con tres variables pueden ser muy complicados.

Entonces, ¿qué deberíamos usar para describir el movimiento del péndulo? Los matemáticos describirían el péndulo como un sistema que solo exhibe un grado de libertad. Lo que quieren decir con esto es que debido a la barra del péndulo, la masa del péndulo no puede estar en ningún otro lugar que no sea en el extremo de la barra. La barra actúa como un factor restrictivo en la vida del péndulo, reduciendo su "libertad" para moverse por donde quiera. Una posición con un solo grado de libertad se puede expresar en términos de una sola variable.

Una analogía: cuando un vehículo como un barco se mueve sobre la superficie de la Tierra, ¿qué usamos para describir su posición? Deberías haber oído hablar de longitud y latitud. Pero espera un segundo. El barco es un objeto tridimensional que se mueve en un espacio tridimensional. Como tal, ¿no deberíamos usar tres variables para describir su posición, digamos longitud, latitud y altura? ¡No! Esto no es necesario ya que el movimiento de la nave está restringido a la superficie de la Tierra. Dos variables son suficientes para ubicar el barco porque solo tiene dos grados de libertad.

Del mismo modo, nuestro péndulo tiene solo un grado de libertad, por lo que solo se necesita una variable para dar su posición. Tomando como referencia el ejemplo de la navegación de un barco, no hace falta un gran salto de genialidad para darse cuenta de que la posición del péndulo podría describirse en términos del ángulo en el que se desplaza desde algún ángulo de referencia. Usaremos la posición de reposo del péndulo, hacia abajo, como nuestro ángulo de referencia, un ángulo de cero radianes. Las posiciones en sentido antihorario desde aquí se considerarán ángulos positivos, y las posiciones en el sentido de las agujas del reloj recibirán ángulos negativos.

Entonces, las dos variables que usaremos en este problema serán el tiempo, denotado por $t$, y medido en segundos, y el ángulo que forma el péndulo con la posición de reposo hacia abajo, denotado por $\theta$, medido en radianes. En este punto también introduciremos un par de constantes: tomaremos la longitud del péndulo en $L$ metros y su masa en $m$ kilogramos.

Lo anterior mencionado lo podemos representar pictóricamente. Esto se puede apreciar en el siguiente applet. Mueve el deslizador de abajo.

Ahora que hemos elegido nuestras variables, podemos buscar la ecuación del péndulo. Como es habitual en los problemas basados en la física, la derivación depende de un análisis de las fuerzas implicadas en el sistema.

Fuerza Tangencial

Vamos a tratar de derivar la fuerza tangencial sobre el péndulo desde dos puntos de vista diferentes.

Aceleración Angular: Es la aceleración que experimenta el ángulo central con el paso del tiempo. Como es habitual con la aceleración, se puede encontrar tomando la segunda derivada de la distancia, o en nuestro caso la segunda derivada de la longitud de arco. El ángulo en nuestro análisis se ha denominado $\theta$, pero no es lo mismo que la longitud del arco $s$ (a menos que esté trabajando en un círculo unitario, es decir, un péndulo con una barra de $1\,m$ de longitud). Entonces, ¿cómo podemos obtener la longitud de arco si conocemos el ángulo? La respuesta se remonta a la definición de medida en radianes. Por definición, si $\theta$ se mide en radianes, entonces:

$$\theta=\frac{s}{L}$$

lo cual se puede re-escribir como

$$s=L\theta.$$

Como se mencionó anteriormente, la aceleración se encuentra al calcular la segunda derivada de la longitud de arco. Aplicando la segunda derivada a la ecuación anterior obtenemos:

$$s''=L\theta''$$

(recuerda que $L$ es la longitud de la barra, así es este valor es constante). Si reemplazamos $s''$ por su otro nombre, aceleración, o $a$, tenemos:

$$a=L \theta''$$

Entonces hemos obtenido la aceleración angular, pero dijimos que necesitábamos observar las fuerzas involucradas. Matemáticamente, ¿cómo se obtiene la fuerza de la aceleración? La respuesta proviene inmediatamente de la Segunda Ley del Movimiento de Newton, que en su forma más condensada dice $$F = ma.$$ Entonces, para obtener la fuerza tangencial de nuestra última ecuación, necesitaríamos multiplicarla por $m$ en ambos lados. Al hacer esto nos da:

$$ma = mL\theta''$$

es decir

$$F = mL\theta''$$

usando la fórmula de Newton. Así que ahora tenemos una versión de la fuerza tangencial experimentada por el péndulo.

Aceleración gravitacional: la otra forma de derivar la fuerza tangencial en el péndulo es considerar el efecto de la gravedad ($g$) directamente. Dado que la gravedad tira hacia abajo, no toda su fuerza se siente en la dirección tangencial del movimiento del péndulo. Pero buscamos la fuerza tangencial para poder formar una relación con nuestra última ecuación anterior. Para conseguirlo tendremos que buscar la componente tangencial de la gravedad. Esto se puede encontrar proyectando el vector de fuerza de la gravedad, $mg$, ortogonalmente sobre la línea tangente a la curva, como se muestra en la imagen:

Ten en cuenta que el ángulo inferior también se puede etiquetar como $\theta$, ya que la línea de proyección ortogonal es paralela a la barra del péndulo, lo que significa que los ángulos superior e inferior son ángulos interiores opuestos de un paralelogramo y, por lo tanto, necesariamente iguales. Los lados del triángulo inferior pronto se pueden etiquetar, usando un poco de trigonometría de triángulo rectángulo, como se muestra en el diagrama anterior.

Así que ahí lo tenemos, de nuestro diagrama, otro nombre para la componente tangencial de la fuerza es:

$$F = -mg \,\text{sen}\, \theta$$

La fuerza es negativa en este caso debido a su tendencia a mover el péndulo hacia la posición de equilibrio. Listo, ahora debemos retomar nuestra otra versión del componente tangencial de la fuerza.

Igualando fuerzas

Ahora obtenemos la recompensa por el trabajo que hicimos derivando el componente tangencial de la fuerza de dos maneras diferentes. De nuestro trabajo de aceleración angular tenemos:

$$F = m L \theta''$$

y de nuestro trabajo de aceleración gravitacional tenemos:

$$F = -mg\,\text{sen}\, \theta.$$

De lo cual podemos deducir que

$$m L \theta'' = -mg\, \text{sen} \,\theta.$$

Al dividir ambos lados por $mL$ nos queda:

$$\theta'' = -\frac{g}{L}\,\text{sen} \,\theta.$$

Finalmente pasamos todos los términos al lado izquierdo para obtener la ecuación:

$$\theta''+\frac{g}{L}\,\text{sen}\, \theta =0.$$

Esta es la ecuación que estábamos buscando desde el principio: la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del péndulo simple.

Simulación con GeoGebra

Péndulo simple

Para poder hacer una simulación del péndulo simple necesitamos resolver una ecuación diferencial de segundo grado:

$$\theta''+\frac{g}{L}\,\text{sen}\, \theta =0.$$

Esta ecuación nos proporcionará la posición del péndulo en un tiempo $t$. Este es un punto en el plano cartesiano definido como

$$x_p = L \text{ sen} \,\theta, \quad y_p = -L \cos \theta$$

Existen muchos métodos para resolver esta ecuación diferencial pero aquí lo haremos numéricamente usando GeoGebra, el cual cuenta con diferentes comandos para este tipo de problemas. En particular, usaremos el comando ResuelveNEDO (o en inglés NSolveODE). Este comando resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Así que para utilizarlo, primero necesitamos re-escribir nuestra ecuación como un sistema de ecuaciones diferenciales:

$$ \begin{eqnarray}\label{sys} \theta' &=& \omega \\ \nonumber \omega' &=& -\dfrac{g}{L}\text{ sen} \,\theta \end{eqnarray} $$

Observa que hemos introducido una nueva variable $\omega$ en nuestro sistema. Esta indica la velocidad angular con la que cambia nuestro ángulo $\theta$. 

Para usar el comando

ResuelveNEDO( <Lista de derivadas>, <Valor inicial de x>, <Lista de valores iniciales de y>, <Valor final de x> )

necesitamos

1. Lista de derivadas: En nuesto caso el sistema de ecuaciones diferenciales ($\ref{sys}$).
2. Valor inicial de x: Aquí x representa el tiempo $t=0$.
3. Lista de valores iniciales de y: Es decir $\theta_0$ y $\omega_0$.
4. Valor final de x: Esto es el tiempo final $t$.

Al usar el comando ResuelveNEDO, GeoGebra nos dará como resultado dos curvas solución. La primera establece el ángulo $\theta$ del péndulo, del cual podemos calcular su posición $(x_p,y_p)= (L \text{ sen}\, \theta, -L \cos \theta )$. La segunda curva establebe su velocidad angular.

Convenientemente, la página de documentación de GeoGebra cuenta con el ejemplo del péndulo simple, el cual he modificado un poco para seguir con la notación aquí usada. También he agregado algunos comentarios, indicados con el símbolo #, para mayor claridad. El script es el siguiente:

# Gravedad

g = 9.81

# Longitud de la barra

L = 2

# Posición inicial θ0 y velocidad inicial ω0

θ0 = 3 pi/4

ω0 = 0

# Sistema de ecuaciones diferenciales

θ'(t, θ, ω) = ω

ω'(t, θ, ω) = -g / L sen(θ)

# Resuelve el sistema

ResuelveNEDO[{θ', ω'}, 0, {θ0, ω0}, 17.3]

# Lo siguiente obtiene los valores de la posición

len = Longitud[IntegralNumérica1]

c = Deslizador[0, 1, 1 / len, 1, 100, false, true, true, false]

# Posición

xp = L sen(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))

yp = -L cos(y(Punto[IntegralNumérica1, c]))

# Dibuja la masa y la barra que la sostiene

A = (xp, yp)

Segmento[(0, 0), A]

# Anima

IniciaAnimación()

Puedes usar este script en GeoGebra de dos maneras:

1. Escribe línea por línea en la barra de entrada (sin incluir comentarios).
2. Alternativamente, crea un botón y dentro de este escribes todo el script anterior. Cierras la ventana del botón y das click en él para crear la simulación.

En cualquier caso el resultado es el siguiente:

https://www.geogebra.org/m/dxgzptxq

La simulación del péndulo simple es fascinante, pero para explorarlo con mayor detalle te recomiendo crear tu propia versión en GeoGebra. Investiga qué sucede cuando cambias el valor inicial de $\theta$, $\omega$, la longitud  $L$ de la barra, o incluso la gravedad $g$. Por cierto, ¿qué sucede con la masa? ¿Qué pasaría si cambias el valor de la masa? También puedes investigar el periodo de oscilación, por ejemplo, podríamos preguntarnos: ¿Cuál sería la expresión que determina el periodo de oscilación para cualquier condición inicial?

Si haces alguna simulación del péndulo basada en el contenido de este artículo, por favor compártelo en Twitter: @jcponcemath.

Péndulo con oscilaciones amortiguadas

Ahora realizaremos la modelacon del péndulo con oscilaciones amortiguadas. Para ello necesitamos considerar la constante de amortiguamiento $\gamma$. En este caso tenemos que resolver la ecuación diferencial de segundo orden:

$$\theta''+\frac{\gamma}{m}\theta'+\frac{g}{L}\,\text{sen }\theta=0$$

la cual se deriva de la teoría de oscilaciones armónicas. Esta ecuación se puede resolver con GeoGebra con el mismo método descrito anteriormente. La única diferencia es que debemos agregar al princio del script la masa y la constante de amortiguamiento:

# Masa

m = 2.5

# Constante de amortiguamiento

γ = 0.852

Y, por supuesto, debemos actualizar nuestro sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

# Sistema de ecuaciones diferenciales para oscilaciones amortiguadas

θ'(t, θ, ω) = ω

ω'(t, θ, ω) = -γ / m ω - g / L sen(θ)

# Resuelve el sistema

ResuelveNEDO[{θ', ω'}, 0, {θ0, ω0}, 40]

Al actualizar nuestro script, el resultado es el siguiente:

https://www.geogebra.org/m/vz23cnpg

Igualmente, el péndulo con oscilaciones amortiguadas es fascinante. Te recomiendo hacer tu propia versión. Cambia las condiciones iniciales, la masa, la constante de amortiguamiento y la longitud de la barra. ¿Qué sucede si la masa es muy pequeña? ¿Qué sucede si la barra es muy corta? Si haces alguna simulación del péndulo con oscilaciones amortiguadas basada en el contenido de este artículo, por favor compártelo en Twitter: @jcponcemath.

Comentarios Finales

Espero que los métodos descritos en este artículo para modelar el péndulo simple y con oscilaciones amortiguadas en GeoGebra te sean de utilidad.

Como reto, puedes intentar crear una simulación con muchos péndulos, ya sea simples o con oscilaciones amortiguadas. Incluso podrías intentar hacer una simulación en 3D como la que se muestra abajo, la cual contiene muchos péndulos alineados con osiclación amortiguada. Observa los increíbles patrones de onda que se generan.

Referencias

1. Zill, D. G. (2009). A first course in Differential Equations with Modeling Applications. 9th ed. Brooke/Cole.
2. Wikipedia. Pendulum (mechanics). 

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