Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en R[X]R[X]

Sea RR anillo conmutativo en el que a2=0a2=0 solo cuando a=0a=0. Muestre que si el polinomio

                                     q(X)=a0Xn+a1Xn1++anR[X]q(X)=a0Xn+a1Xn1++anR[X]

es un divisor de cero, entonces existe un elemento b0Rb0R tal que ba0=ba1==ban=0ba0=ba1==ban=0.

Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de aa permite asegurar que todas las potencias de aa solo se anulan cuando a=0a=0: supongamos que at=0at=0 y notemos que

                                           (at1)2=at1at1=atata2=0(at1)2=at1at1=atata2=0

Asi, por hipotesis tenemos at1=0at1=0. Aplicando un argumento de induccion vemos que at=0at=0 solo cuando a=0a=0.


Sea p(X)=b0Xm+b1Xm1++bmp(X)=b0Xm+b1Xm1++bm polinomio no cero, con b00b00, tal que q(X)p(X)=0q(X)p(X)=0. Al realizar el producto obtenemos que

                                                  {a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0

Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por b0b0:
                                                   a0b1b0+a1b20=0a0b1b0+a1b20=0

para obtener que a1b20=0a1b20=0; en particular se tiene que (a1b20)=0(a1b20)=0 que por hipotesis implica que a1b0=0a1b0=0. Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por b20b20 se obtiene

                                        a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0

de donde a2b30=0a2b30=0; en particular, (a2b0)3=0(a2b0)3=0 y por tanto a2b0=0a2b0=0.



En general, usando las igualdades de arriba se tiene que aibi0=0(aib0)i=0aib0=0aibi0=0(aib0)i=0aib0=0, para i=0,1,,ni=0,1,,n. El resultado se obtiene haciendo b=b0b=b0.


Pregunta: es necesario multiplicar en el ii-esimo paso por bibi?,  no basta con multiplicar por b0b0?



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