Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en
Sea anillo conmutativo en el que solo cuando . Muestre que si el polinomio
es un divisor de cero, entonces existe un elemento tal que .
Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de permite asegurar que todas las potencias de solo se anulan cuando : supongamos que y notemos que
Asi, por hipotesis tenemos . Aplicando un argumento de induccion vemos que solo cuando .
Sea polinomio no cero, con , tal que . Al realizar el producto obtenemos que
Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por :
para obtener que ; en particular se tiene que que por hipotesis implica que . Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por se obtiene
de donde ; en particular, y por tanto .
En general, usando las igualdades de arriba se tiene que , para . El resultado se obtiene haciendo .
Pregunta: es necesario multiplicar en el -esimo paso por ?, no basta con multiplicar por ?
es un divisor de cero, entonces existe un elemento tal que .
Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de permite asegurar que todas las potencias de solo se anulan cuando : supongamos que y notemos que
Asi, por hipotesis tenemos . Aplicando un argumento de induccion vemos que solo cuando .
Sea polinomio no cero, con , tal que . Al realizar el producto obtenemos que
Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por :
para obtener que ; en particular se tiene que que por hipotesis implica que . Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por se obtiene
de donde ; en particular, y por tanto .
En general, usando las igualdades de arriba se tiene que , para . El resultado se obtiene haciendo .
Pregunta: es necesario multiplicar en el -esimo paso por ?, no basta con multiplicar por ?
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