Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en R[X]R[X]
Sea RR anillo conmutativo en el que a2=0a2=0 solo cuando a=0a=0. Muestre que si el polinomio
q(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈R[X]q(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈R[X]
es un divisor de cero, entonces existe un elemento b≠0∈Rb≠0∈R tal que ba0=ba1=⋯=ban=0ba0=ba1=⋯=ban=0.
Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de aa permite asegurar que todas las potencias de aa solo se anulan cuando a=0a=0: supongamos que at=0at=0 y notemos que
(at−1)2=at−1at−1=atata−2=0(at−1)2=at−1at−1=atata−2=0
Asi, por hipotesis tenemos at−1=0at−1=0. Aplicando un argumento de induccion vemos que at=0at=0 solo cuando a=0a=0.
Sea p(X)=b0Xm+b1Xm−1+⋯+bmp(X)=b0Xm+b1Xm−1+⋯+bm polinomio no cero, con b0≠0b0≠0, tal que q(X)p(X)=0q(X)p(X)=0. Al realizar el producto obtenemos que
{a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0⋮⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0⋮
Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por b0b0:
a0b1b0+a1b20=0a0b1b0+a1b20=0
para obtener que a1b20=0a1b20=0; en particular se tiene que (a1b20)=0(a1b20)=0 que por hipotesis implica que a1b0=0a1b0=0. Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por b20b20 se obtiene
a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0
de donde a2b30=0a2b30=0; en particular, (a2b0)3=0(a2b0)3=0 y por tanto a2b0=0a2b0=0.
En general, usando las igualdades de arriba se tiene que aibi0=0⇒(aib0)i=0⇒aib0=0aibi0=0⇒(aib0)i=0⇒aib0=0, para i=0,1,…,ni=0,1,…,n. El resultado se obtiene haciendo b=b0b=b0.
Pregunta: es necesario multiplicar en el ii-esimo paso por bibi?, no basta con multiplicar por b0b0?
q(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈R[X]q(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈R[X]
es un divisor de cero, entonces existe un elemento b≠0∈Rb≠0∈R tal que ba0=ba1=⋯=ban=0ba0=ba1=⋯=ban=0.
Solucion: La hipotesis sobre el cuadrado de aa permite asegurar que todas las potencias de aa solo se anulan cuando a=0a=0: supongamos que at=0at=0 y notemos que
(at−1)2=at−1at−1=atata−2=0(at−1)2=at−1at−1=atata−2=0
Asi, por hipotesis tenemos at−1=0at−1=0. Aplicando un argumento de induccion vemos que at=0at=0 solo cuando a=0a=0.
Sea p(X)=b0Xm+b1Xm−1+⋯+bmp(X)=b0Xm+b1Xm−1+⋯+bm polinomio no cero, con b0≠0b0≠0, tal que q(X)p(X)=0q(X)p(X)=0. Al realizar el producto obtenemos que
{a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0⋮⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a0b0=0a0b1+a1b0=0a0b2+a1b1+a2b0=0⋮
Tomamos la segunda igualdad, multiplicamos por b0b0:
a0b1b0+a1b20=0a0b1b0+a1b20=0
para obtener que a1b20=0a1b20=0; en particular se tiene que (a1b20)=0(a1b20)=0 que por hipotesis implica que a1b0=0a1b0=0. Usando ahora la tercera igualdad de arriba, mutiplicando por b20b20 se obtiene
a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0a0b2b20+a1b1b20+a2b30=0
de donde a2b30=0a2b30=0; en particular, (a2b0)3=0(a2b0)3=0 y por tanto a2b0=0a2b0=0.
En general, usando las igualdades de arriba se tiene que aibi0=0⇒(aib0)i=0⇒aib0=0aibi0=0⇒(aib0)i=0⇒aib0=0, para i=0,1,…,ni=0,1,…,n. El resultado se obtiene haciendo b=b0b=b0.
Pregunta: es necesario multiplicar en el ii-esimo paso por bibi?, no basta con multiplicar por b0b0?
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