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Mostrando las entradas con la etiqueta ejercicio

El viajero y la botella de agua

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Espacio separable

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Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$. Ejemplo 1 . Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$ Ejemplo 2 . Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$ Un espacio topológico es llamado separable  (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable.  Ejemplo 3 . La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conj...
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Proyección estereográfica (en dimensión 2)

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Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto  aquí Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos. Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo.  También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón. Enlace:  https://ggbm.at/bQKwnfN8 Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2...
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Ejercicio de Topología

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Considere a los espacios $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}$ con métrica usual y defina la función                                   $p: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\qquad p(x,y)=x$ Pruebe que $p$ es función continua. Solución . Para $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tomemos $V$ vecindad de $x\in \mathbb{R}$ y consideremos $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(x)\subseteq V$. Definamos $U=B_\epsilon((x,y))$ y notemos que $p(U)\subseteq V$, lo cual prueba que $p$ es continua.
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Dos ejercicios de Topología General

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1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$. Solución . Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que                          $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$                          $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$ De las relaciones anteriores se sigue que                                     $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$                                                         ...
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Dos ejercicios de Topología General

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1 .- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por                                       $\tau=\{U\subset X\:  |\:  0\notin U\;\;   ó\;\;    (-1,1)\subset U\}$ Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados. Solución . Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$.  Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$. (i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$. (ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$. Tomemos aho...
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Ejercicio de Algebra: sobre divisores de cero en $R[X]$

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Sea $R$ anillo conmutativo en el que $a^2=0$ solo cuando $a=0$. Muestre que si el polinomio                                      $q(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots +a_n\in R[X]$ es un divisor de cero, entonces existe un elemento $b\neq 0\in R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$. Solucion : La hipotesis sobre el cuadrado de $a$ permite asegurar que todas las potencias de $a$ solo se anulan cuando $a=0$: supongamos que $a^t=0$ y notemos que                                            $(a^{t-1})^2=a^{t-1}a^{t-1}=a^ta^ta^{-2}=0$ Asi, por hipotesis tenemos $a^{t-1}=0$. Aplicando un argumento de induccion vemos que $a^t=0$ solo cuando $a=0$. Sea $p(X)=b_0X^m+b_1X^{m-1}+\cdots +b_m$ polinomio no cero, con $b_0\neq 0$, tal que $q(X)p(X)=0$. Al realizar el producto obtenemos que  ...
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Sobre la infinidad de números primos

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Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son él mismo y el $1$. La existencia de los números primos es de gran importancia ya que el Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero $n>1$ es un primo o es un producto de primos; además, la factorización en producto de primos es única salvo orden de los primos. En la presente nota daremos una prueba topológica de que existe una cantidad infinita de números primos. Para mostrar el resultado repasaremos algunos conceptos y resultados elementales de topología. Preliminares topológicos En una nota anterior  hablamos sobre los abiertos de una topología, con lo cual podemos definir: un cerrado es aquel subespacio cuyo complemento es abierto. Algo que no se dijo en esa cómo generar una topología; aquí una forma: dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mathcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto puede ser expresado como unión de elementos de $\mathcal{B}$. La c...
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Todo conjunto es compacto y Hausdorff

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La compacidad de un espacio $X$ es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre $X$ (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de $\mathbb{R}^n$, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí  la información. Por otro lado, el que un espacio $X$ sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de $X$ es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma $\{x\}$ son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en $X$, lo cual es algo que siempre se quiere tener. En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto $X$ siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topol...
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Galileo Galilei y su ley de caída libre

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1. Introducción Con respecto al estudio del movimiento de caída libre, el filósofo griego Aristóteles (384-322 aC) asumió que los objetos más pesados ​​caían más rápido que los más ligeros. Esta suposición se mantuvo durante casi 2000 años hasta que, a finales del siglo XVI, el matemático italiano  Galileo Galilei  (1564-1642)  demostró que en realidad todos los objetos caen al mismo tiempo sin importar el peso de estos. Corrientes de pensamiento con respecto al movimiento de caída libre Aristoteliana                                          Galileana Galileo estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía radicalmente las nociones aristotélicas acerca de la caída libre. Por supesto que en esa...
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Breve historia del Cálculo

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1. Introducción El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6]. Leibniz Newton En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar...
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Una historia de la Teoría de Conjuntos

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La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia. La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares. Georg Cantor La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ...
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