Sobre la infinidad de números primos

Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son él mismo y el $1$. La existencia de los números primos es de gran importancia ya que el Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero $n>1$ es un primo o es un producto de primos; además, la factorización en producto de primos es única salvo orden de los primos.

En la presente nota daremos una prueba topológica de que existe una cantidad infinita de números primos. Para mostrar el resultado repasaremos algunos conceptos y resultados elementales de topología.

Preliminares topológicos

En una nota anterior hablamos sobre los abiertos de una topología, con lo cual podemos definir: un cerrado es aquel subespacio cuyo complemento es abierto. Algo que no se dijo en esa cómo generar una topología; aquí una forma: dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mathcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto puede ser expresado como unión de elementos de $\mathcal{B}$. La colección de intervalos abiertos $\{(a,b)\;|\;a<b\}$ forma una base para la topología usual de la recta real $\mathbf{R}$.

El siguiente resultado es conocido como el Criterio de la Base y como su nombre lo dice es una manera de determinar si una familia es una base para una topología

Sean $X$ conjunto y $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(X)$. Existe una topología $\tau_{\mathcal{B}}$ para la cual $\mathcal{B}$ es base si y sólo se cumple:

- $X=\cup \{B\;|\; B\in \mathcal{B}\}$

- Dados $A,B\in \mathcal{B}$ y $x\in A\cap B$ existe $C\in \mathcal{B}$ tal que $x\in C\subset A\cap B$.

El resultado

Dotamos a los enteros $\mathbb{Z}$ de una topología a través de progresiones aritméticas: $U\subset \mathbb{Z}$ abierto si y sólo si $U$ es vacio ó es unión de los conjuntos $N(a,b)$, donde

                                            $N(a,b)=\{ak+b\;|\; k\in \mathbb{Z},\; a>0 \}$

En otras palabras, $U$ es abierto si $\forall x\in U$ existe $a>0$ tal que $N(a,x)\subset U$. Usaremos el Criterio de la Base para mostrar que la colección $\mathcal{B}$ de las sucesiones $N(a,b)$ forma una base:

a) Observemos que $\emptyset $ es abierto y que $\mathbb{Z}=N(1,0)$.

b) Consideremos dos abiertos $U_1,U_2$ y $x\in U_1\cap U_2$ con $N(a_i,x)\subset U_i$, para algún $a_i>0, i=1,2$. Tomemos $a$ el mínimo común múltiplo de $a_1,a_2$ y observemos que

                                           $N(a,x)\subset N(a_i,x)\subset U_i,\;\;i=1,2$

Por lo tanto, $\mathcal{B}$ forma una base para la topología de los enteros uniformemente espaciados (evenly spaced integer topology). Algunas propiedades inmediatas de ésta topología:

- Cualquier abierto no vacio contiene una sucesión infinita por lo que ningún conjunto finito puede ser abierto. Equivalentemente, el complemento de un conjunto finito nunca es cerrado.

- Por definición $N(a,b)$ es abierto pero también cerrado debido a que

                                $N(a,b)=\mathbb{Z}\backslash \bigcup_{j=1}^{a-1} N(a,b+j)$

- Dado que los únicos enteros que no son múltiplos de primos son $-1,+1$ se tiene que

                                    $\mathbb{Z}\backslash \{-1,+1\}=\bigcup_{p\; primo} N(p,0)$                 (**)

H. Furstenberg

La base definida arriba es el trabajo realizado por H. Furstenberg en su artículo de 1955 para usar  herramientas topológicas para probar la infinidad de números primos. Las propiedades de la topología para $\mathbb{Z}$ mencionadas antes hacen que la prueba de este resultado sea inmediata pues al suponer que existe una cantidad finita de números primos, el lado derecho de la relación (**) es cerrado. Pero, por otro lado, el lado izquierdo no puede ser cerrado, obteniendo una contradicción.

A propósito de números primos: ¿cuál es el número primo más grande que se conoce? Aquí la respuesta; es un número fresquecito y tiene la forma de un número de Mersenne !!.