Todo conjunto es compacto y Hausdorff
La compacidad de un espacio XX es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre X (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de Rn, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí la información. Por otro lado, el que un espacio X sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de X es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma {x} son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en X, lo cual es algo que siempre se quiere tener.
En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto X siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topológico con la propiedad de ser compacto y de Hausdorff.
Definiciones
Recordemos que una topología en un conjunto X es una colección τ={U|U⊂X} que satisface:
1.- El conjunto vacio ∅ y X pertenecen a τ
2.- La unión de una cantidad arbitraria de elementos de τ es también un elemento de τ
3.- La intersección de dos elementos de τ es de nuevo un elemento de τ
La pareja (X,τ) es llamada espacio topológico, o simplemente espacio y los elementos de τ son llamados los abiertos del espacio.
Un espacio X es llamado de Hausdorff si para cualesquiera x≠y∈X existen vecindades U1,U2 ajenas tales que x∈U1,y∈U2. Por otra parte, X es compacto si toda cubierta abierta de él tiene una subcubierta finita.
El espacio en cuestión
Dado X conjunto no vacío y ∗∈X un elemento dado definimos la colección:
τ={B⊂X|∗∉BóX∖Bfinito}
Probaremos que τ es una topología para X, llamada la topología de inclusión del punto:
a) Como ∗∉∅ se sigue que ∅∈τ. Por otro lado, dado que el complemento X∖X=∅ es finito, se sigue que X∈τ.
b) Tomemos una colección arbitraria {Bi}⊂τ y consideremos su unión B=∪Bi. Notemos que si ∗∉Bi,∀i, entonces ∗∉B, por lo que B∈τ. Por otro lado, si resulta que ∗∈Bj, para algún j, entonces X∖Bj es finito. Dado que
X∖B⊂X∖Bj,
se sigue que X∖B es también finito y por lo tanto B∈τ.
c) Tomemos B1,B2∈τ y consideremos B=B1∩B2. Notemos que si ∗∉Bi, para algún i∈{1,2}, entonces ∗∉B y por tanto B∈τ. Por otro lado, si ∗∈B1,∗∈B2 entonces X∖B1,X∖B2 son finitos. Por las leyes de DeMorgan, se sigue que
X∖B=(X∖B1)∪(X∖B2)
por lo que X∖B es finito y B∈τ.
Primero mostraremos que con esta topología X es un espacio Hausdorff: sean x≠y∈X
a) Si x=∗ consideramos U={y},V=X∖U y observemos que y∈U,x∈V y que además U∩V=∅. Si y=∗ las vecindades se definen de manera análoga.
b) Si x≠∗≠y entonces U={x},V={y} son las vecindades ajenas buscadas.
Probaremos ahora que X es compacto: sea U={Ui}i∈I cubierta abierta de X y tomemos Uj tal que ∗∈Uj; es decir, X∖Uj es finito. Entonces existen U1,U2,…,Us∈U abiertos que contienen a cada punto de X∖Uj. Notemos entonces que
U1∪U2∪⋯∪Us∪Uj
forma una subcubierta finita para X.
Nota final
Como ocurre en muchos casos en topología los argumentos mostrados arriba no son los únicos que se pueden usar para probar que X es compacto y Hausdorff; surge entonces la pregunta: ¿qué otros métodos pueden usarse para probar que X es compacto y Hausdorff? Si la topología está dada mediante
τ′={U⊂X|∗∈UóUfinito}
(es decir, la topología está dada mediante cerrados), ¿cómo se prueban la compacidad y la propiedad de ser Hausdorff?
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