Dos ejercicios de Topología General

1.- Sean $X$ espacio topológico y $A,B\subset X$ tales que $X=A\cup B$. Prueba que para $M\subset A\cap B$ que es abierto de $A$ y abierto de $B$ se tiene que $M$ es abierto de $X$.

Solución. Por ser abierto relativo, existen $U,V$ abiertos de $X$ tales que $M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$. Notemos que

                         $A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$
                         $B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$

De las relaciones anteriores se sigue que
                                    $M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$
                                                          $=(A\cup B)\cap (U\cap V)$
                                                          $=X\cap (U\cap V)$
                                                          $=U\cap V$.
Así, $M=U\cap V$, cual es abierto de $X$. $\bullet$


2.- Sean $X$ espacio topológico y $U,V\subset X$ abiertos y densos. Prueba que $U\cap V$ es denso en $X$.

Solución. Tomemos $W\subset X$ abierto. Queremos probar que $W\cap (U\cap V)\neq \emptyset$. Como $V$ es abierto, la intersección $V\cap W$ es también abierto. Por otro lado, como $V$ es denso se tiene que $V\cap W\neq \emptyset$. Finalmente, de esto se obtiene

                                      $V\cap (U\cap W)= (U\cap V)\cap W\neq \emptyset$

como se quería probar. $\bullet$