Dos ejercicios de Topología General

1.- Sea $X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de $X$ dada por

                                      $\tau=\{U\subset X\:  |\:  0\notin U\;\;   ó\;\;    (-1,1)\subset U\}$

Pruebe que $\tau$ es una topología para $X$ y determine todos sus cerrados.

Solución. Dado que $0\notin \emptyset$, se sigue que $\emptyset \in \tau$ y como $(-1,1)\subset X$ se tiene que $X\in \tau$. 

Consideremos ahora una colección $\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de $\tau$.

(i) Si $0\notin U_i, \forall i$, entonces $0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de $\tau$.

(ii) Por otro lado, si existe $j$ tal que $(-1,1)\subset U_j$, se tiene que $(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de $\tau$.

Tomemos ahora la colección $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau$, con $I$ finito. 

(i) Si $(-1,1)\subset U_i,\forall i$, entonces $(-1,1)\subset \bigcap_{i\in I}U_i$ y la intersección $\cap_{i\in I}U_i$ pertence a $\tau$.

(ii) Por otro lado, si existe $j\in I$ tal que $0\notin U_j$, entonces $0\notin \bigcap_{i\in I}U_i$ y como antes $\cap_{i\in I}U_i\in \tau$.

Para los cerrados: $A\subset X$ cerrado $\leftrightarrow$ $X\backslash A\in \tau$; por definición de los abiertos se tiene que $A$ cerrado $\Longleftrightarrow\;0\notin X\backslash A$ ó $(-1,1)\subset X\backslash A$. De aquí se sigue que $0\in A$ ó $A\subset X\backslash (-1,1)$. Con esto concluimos que los cerrados son 

                  $0\in A,\:A=\emptyset,\:A=\{-1\},\:A=\{1\},\:A=\{1,-1\}.\;\; \blacksquare$

2.- Sean $\tau_1,\tau_2$ topologías para $X$. Pruebe que $\tau_1\cap \tau_2$ también es topología.

Solución. Dado que $\tau_1,\tau_2$ son topologías, $\emptyset,X\in \tau_1,\tau_2$ y por lo tanto también $\emptyset,X\in \tau_1\cap \tau_2$.

Consideremos $\{U_i\}_{i\in I}$ una colección en $\tau_1\cap\tau_2$. Por definición tenemos que $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau_1$ y $\{U_i\}_{i\in I}\subset \tau_2$ y como $\tau_1,\tau_2$ son topologías se tiene que

                             $\cup_{i\in I} U_i\in \tau_2,\;\;\cup_{i\in I} U_i\in \tau_2$

y por tanto $\cup_{i\in I} U_i\in \tau_1\cap \tau_2$. Para el caso de la intersección se procede de la misma forma (tomando $I$ finito).  $\blacksquare$

El resultado anterior puede ser generalizado: dada $\{\tau_i\}_{i\in I}$ una colección de topologías para un conjunto $X$, la intersección $\cap \{\tau_i\}_{i\in I}$ es también una topología para $X$.

El resultado anterior no es cierto para el caso de la unión...