Espacio separable

Decimos que un subespacio $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A}=X$. Observemos que, utilizando la caracterización de la cerradura en términos de abiertos, se tiene que $A$ es denso si, y sólo si, todo abierto no vacío de $X$ intersecta a $A$.

Ejemplo 1. Observemos que en cualquier espacio dotado de la topología trivial, cualquier subconjunto no vacío es denso. Por el contrario, en cualquier espacio dotado de la topología discreta ningún subconjunto propio es denso.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 2. Sea $X$ con la topología del complemento finito y $W\subset X$ infinito. Recordemos que $U\subset X$ es cerrado si y solo si $C=X$ ó $C$ es finito. Así, cualquier cerrado que contenga a $W$ debe ser todo $X$ y por lo tanto es denso.$\blacktriangleleft$

Un espacio topológico es llamado separable (ó de Fréchet) si contiene un subconjunto denso  y numerable. 

Ejemplo 3. La recta real $\mathbb{R}$ con la topología usual es separable pues el conjunto de los racionales $\mathbb{Q}$ es denso y numerable.$\blacktriangleleft$ 

Ejemplo 4. Consideremos a la recta $\mathbb{R}$ con la topología del complemento finito. Sea $A\subset \mathbb{R}$ numerable e infinito. Dado que  $A\subseteq \overline{A}$ el Ejemplo 2 de arriba nos dice que $\overline{A}=\mathbb{R}$ y por lo tanto $A$ es denso. En particular, el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$ es denso y por tanto $\mathbb{R}$ con la topología del complemento finito es separable.$\blacktriangleleft$

Ejemplo 5.  Tomemos a la recta real $\mathbb{R}$ con la topología del complemento numerable. En estas condiciones cualquier subconjunto numerable es cerrado (por definición de la topología) y por tanto coincide con su propia cerradura. Así, la recta $\mathbb{R}$ con la topología del complemento numerable no es separable pues $\mathbb{R}$ no es numerable.$\blacktriangleleft$

A continuación algunos resultados sobre espacios separables:

Proposición. La propiedad de ser separable se hereda a subconjuntos abiertos. Es decir, si $X$ es  espacio separable y $U\subset X$ abierto, entonces $U$ es también separable.

Demostración. Puesto que $X$ es separable, existe $D\subset X$ denso y numerable. Notemos que $D\cap U$ es subconjunto numerable de $U$. Afirmación: $D\cap U$ es denso en $U$.

Tomemos $x\in U$ y cualquier vecindad $N$ de $x$ en $X$. Por el Lema 2.17 en [1] se tiene que $U\cap N$ es vecindad de $x$ en $U$. Además, por la caracterización mencionada al principio de esta entrada se sigue que
   
                          $(U\cap N)\cap D\neq \emptyset\qquad \Rightarrow N\cap(U\cap D)\neq \emptyset$

Esto muestra que $x\in \overline{U\cap D}$; es decir, $U\subset \overline{U\cap D}$. Finalmente, usando el Lema 2.18 en [1], obtenemos la igualdad
\begin{eqnarray*}
\overline{U\cap D}=U\cap \overline{U\cap D}=U
\end{eqnarray*}
donde el lado izquierdo es la cerradura en $U$. Así, $U$ es separable al tener a $U\cap D$ como subconjunto denso y numerable $\blacksquare$

El resultado anterior no es cierto para subconjuntos cerrados:

Tarea. Considere la recta real $\mathbb{R}$ y $\tau$ la topología de la inclusión de $2\in \mathbb{R}$. Pruebe que $\mathbb{R}$ con esta topología es separable pero que el subespacio cerrado $\mathbb{R}\backslash\{2\}$ no lo es.$\blacktriangleleft$

Proposición. La propiedad de ser separable se preserva bajo funciones continuas y sobreyectivas. Es decir, si $X$ es espacio separable y $f:X\to Y$ continua y sobreyectiva, entonces $Y$ es también separable.

Demostración. Puesto que $X$ es separable, existe $D\subset X$ denso y numerable. Notemos que  $f(D)\subseteq Y$ es también numerable. Resta ver que $f(D)$ es denso en $Y$.
Recordemos que, por el Lema 3.2 en [1], $f$ es continua si, y sólo si, se tiene $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$, para cualquier $A\subset X$. En particular,
       
                                     $f(X)=f(\overline{D})\subseteq \overline{f(D)}\subset Y$

pero como $f$ es sobreyectiva, $f(X)=Y$ y la inclusión anterior tiene la forma $Y\subseteq \overline{f(D)}\subseteq Y$. Así, $\overline{f(D)}=Y$ como se quería.$\blacksquare$

Notas finales

La propiedad de ser separable se preserva bajo productos (el producto de dos espacios separables es también separable) pero, como se muestra en la Tarea de arriba, no es una propiedad que se herede a cualquier subespacio. La presencia de un subconjunto denso y numerable en un espacio separable $X$ permite cierto control sobre el número de abiertos para construir una topología en $X$ y sobre el número de abiertos para una cubierta abierta de $X$. Dicho en otras palabras: todo espacio métrico y separable tiene una base numerable (es decir, es segundo numerable). 

Referencias.

[1] McCluskey, A., McMaster, B., Undergraduate Topology, Oxford University Press, 2014.