El espacio de Arens-Fort

Nombrado en honor a los matemáticos estadounidenses R. F. Arens y M. K. Fort, el espacio de Arens-Fort es un espacio topológico usado en Topología General principalmente como contraejemplo para ciertos resultados o para mostrar la relación que guardan algunas propiedades topológicas entre sí. En lo que sigue mostraremos un resultado relacionado con sucesiones en dicho espacio.

Definición

Como conjunto, el espacio de Arens-Fort $W$ consiste de todas las parejas ordenadas de enteros no negativos en el plano. En otras palabras, para cada $n\in \mathbb{N}$ consideremos la $n$-ésima columna de $W$ como el conjunto de parejas

                                                          $C_n=\{(n,1),(n,2),(n,3)\ldots,\}$

Hagamos $X=\cup_{n\geq 1}C_n$ y definamos $W=X\cup \{(0,0)\}$. La topología en $W$ se define como sigue: $U\subseteq W$ es abierto si $(0,0)\notin U$ ó si existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $C_n\backslash U$ es finito para todo $n\geq n_0$.

Notemos que de la primera parte de la definición se tiene que cada pareja ordenada $(n,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es un abierto de $W$, pues $(m,n)\neq (0,0)$. Por otro lado, la segunda condición implica que los abiertos que contienen al origen $(0,0)$ son aquellos subconjuntos de $W$ que contienen todos los puntos, salvo una cantidad finita, de cada columna, salvo una cantidad finita de ellas, aquellas de la forma $C_0,C_1,\ldots, C_{n_0-1}$ de la definición; véase la figura abajo tomada de aquí

Ejemplo de una vecindad del origen $(0,0)$

El resultado

Supongamos que existe una sucesión $\{z_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ en $X$ que converge a $(0,0)$ en $W$. Notemos que en tal caso cualquier otra subsucesión también converge a $(0,0)$. Observemos que tenemos dos casos respecto al comportamiento de la sucesión:

= Supongamos que existe un subconjunto infinito $I\subset \mathbb{N}$ tal que los elementos de la sucesión $\{z_i\}_{i\in I}$ estén contenidos en alguna columna, digamos la $C_n$. Notemos que 

                                   $N= \{(0,0)\}\cup C_{n+1}\cup C_{n+2}\cup \cdots$

es una vecindad abierta de $(0,0)$ en $W$ que no atrapa elementos de $\{z_i\}_{i\in I}$, por lo que la subsucesión $\{z_i\}_{i\in I}$ no converge a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

= Si los elementos de la sucesión están contenidos en una cantidad finita de columnas, digamos $C_i,C_{i+1},\ldots, C_j$, entonces podemos tomar

                        $N=\{(0,0)\}\cup C_1\cup C_2\cup C_{i-1}\cup C_{j+1}\cup C_{j+2}\cup \cdots$

como la vecindad abierta de $(0,0)$ que no contiene elementos de la sucesión; así la sucesión no puede converger a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

= Finalmente, si los elementos de la sucesión están contenidos en una infinidad de columnas,podemos encontrar una subsucesión (infinita) $\{y_i\}$ que contenga a lo más un elemento en cada columna. En estas circunstancias, $N=W\backslash \{y_i\}$ es una vecindad abierta de $(0,0)$ que no contiene a $\{y_i\}$; de aquí que $N$ no contiene una infinidad de elementos de la sucesión original $\{z_i\}$ y por lo tanto no converge a $(0,0)$. CONTRADICCIÓN

Si no se le pide ninguna condición adicional a la sucesión $\{z_i\}$, el análisis anterior muestra que la sucesión no puede converger a $(0,0)$ en $W$. De hecho, las únicas sucesiones convergentes en $W$ son las eventualmente constantes.

Comentarios finales

Como se mencionó antes, el espacio de Arens-Fort es usado en Topología como contraejemplo; algunas de las propiedades de $W$ son: es numerable, Hausdorff, regular, normal, pero no es 1ro numerable, ni localmente compacto; no es conexo, ni localmente conexo; véase [2], [3] para más información sobre estos resultados.

Referencias

1.- Arens, R., Note on convergence in topology, Mathematics Magazine, 23 (1950), p. 229-234. 

2.- McCluskey, A., McMaster, B., Undergraduate Topology, Oxford University Press, 2014.

3.- Steen, L.A., Seebach, J.A., Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1970.