El triángulo y la Recta de Euler
Un triángulo, en
geometría plana, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a
dos en tres puntos, los cuales no se encuentran alineados, es decir: no son colineales.
Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de
recta determinados son los lados del triángulo.
Bisectrices
La bisectriz de un
ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos
partes iguales. También se puede definir la bisectriz como el lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan (es decir, están a la misma distancia)
de las semirrectas de un ángulo.
Las bisectrices de
los ángulos internos del triángulo $ABC$ se intersecan en un punto llamado Incentro.
El incentro siempre
se encuentra en el interior del triángulo. De hecho, es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas
En un triángulo $ABC$,
la altura respecto de un lado es el segmento que va desde el pie de la
perpendicular a dicho lado o a su prolongación hasta el vértice opuesto a dicho
lado.
Las tres alturas de
un triángulo se intersecan en un punto llamado Ortocentro. El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste
es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se
halla fuera del triángulo si es obtusángulo.
Figura 2. Triángulo acutángulo
Figura 3. Triángulo obtusángulo
Figura 4. Triángulo rectángulo
Las medianas de un
triángulo $ABC$ son cada uno de los tres segmentos que unen cada vértice con el
punto medio de su lado opuesto.
Las tres medianas
se intersecan en un punto llamado de distintas maneras: baricentro, gravicentro,
o centroide. Este punto siempre se
encuentra en el interior del triángulo.
Medianas de un triángulo: Applet GeoGebra
Mediatrices
La mediatriz de un
segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos
que son equidistantes a los extremos del segmento.
Las mediatrices de
los lados de un triángulo se cortan en un punto común, el cual es el centro de
la única circunferencia a la que pertenecen los tres vértices del triángulo.
Este punto se denomina Circuncentro.
Si el
triángulo es rectángulo, el circuncentro está en el punto medio de la
hipotenusa. Si el triángulo es obtusángulo, está en el exterior del triángulo.
Por último, si el triángulo es acutángulo, está en el interior del triángulo.
Figura 6. Triángulo acutángulo
Figura 7. Triángulo obtusángulo
Figura 8. Triángulo rectángulo
Recta de Euler
En un
triángulo cualquiera $ABC$ trazamos las alturas, medianas y mediatrices. El
ortocentro ($D$), el centroide ($F$) y el circuncentro ($E$) se encuentran alineados.
Es decir, los tres puntos son colineales.
La
recta que une a los tres puntos $D$, $F$ y $E$ se denomina Recta de Euler.
Recta de Euler: Applet GeoGebra
Los
segmentos $EF$ y $FD$ de la Recta de Euler cumplen la siguiente relación
$$\frac{EF}{FD}=\frac{1}{2}.$$
Teorema: Sean H, G y O el ortocentro, centroide y circuncentro de un triángulo. Entonces H, G y O son colineales y $\text{OG}:\text{HG}::1:2$.
Demostración. Sea $\triangle \text{ABC}$ el triángulo dado y sea M el punto medio del lado BC. Consideremos un punto $\text{H'}$ sobre el rayo OG de tal manera que $\text{H'G}=\text{2GO}$. Sabemos que $\text{AG}=\text{2GM}$ y como $\angle\text{AGH'}=\angle\text{MGO}$, tenemos que los triángulos $\triangle \text{MGO}$ y $\triangle \text{AGH'}$ son semejantes y sus lados están en razón $1:2$. Con esto, tenemos que $\text{AH'}$ es paralela a OM y por lo tanto, perpendicular a BC. Análogamente, se demuestra que BH' y CH' son perpendiculares a AC y AB, respectivamente. Por lo que $\text{H'}=\text{H}$ es el ortocentro del triángulo $\triangle \text{ABC}$. De lo cual concluimos que H, G y O están alineados y que
$$\text{OG}:\text{HG}::1:2.$$
Teorema: Sean H, G y O el ortocentro, centroide y circuncentro de un triángulo. Entonces H, G y O son colineales y $\text{OG}:\text{HG}::1:2$.
Demostración. Sea $\triangle \text{ABC}$ el triángulo dado y sea M el punto medio del lado BC. Consideremos un punto $\text{H'}$ sobre el rayo OG de tal manera que $\text{H'G}=\text{2GO}$. Sabemos que $\text{AG}=\text{2GM}$ y como $\angle\text{AGH'}=\angle\text{MGO}$, tenemos que los triángulos $\triangle \text{MGO}$ y $\triangle \text{AGH'}$ son semejantes y sus lados están en razón $1:2$. Con esto, tenemos que $\text{AH'}$ es paralela a OM y por lo tanto, perpendicular a BC. Análogamente, se demuestra que BH' y CH' son perpendiculares a AC y AB, respectivamente. Por lo que $\text{H'}=\text{H}$ es el ortocentro del triángulo $\triangle \text{ABC}$. De lo cual concluimos que H, G y O están alineados y que
$$\text{OG}:\text{HG}::1:2.$$
Referencias
[1] Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. John Wiley
& Sons, Inc. New York.
[2] Euler straight line. P.S. Modenov
(originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_straight_line&oldid=16830
[3] Weisstein, Eric W. Euler Line. MathWorld. Wolfram Research.
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