Bestiario Topológico

¿Qué es una fibración de Hopf? La fibración de Hopf es una construcción fundamental en topología que ofrece una manera sorprendente de descomponer esferas de dimensiones superiores. Formalmente, es una aplicación continua de la 3-esfera a la 2-esfera: \( h: S^3 \to S^2 \) con la notable propiedad de que la preimagen \( h^{-1}(p) \) de cada punto \( p \in S^2 \) es un círculo \( S^1 \). En otras palabras, \(S^3\) puede escribirse como una unión disjunta de círculos (llamados fibras ), uno por cada punto de la 2-esfera ordinaria. ¿Por qué es importante? La fibración de Hopf no es solo una curiosidad matemática; desempeña un papel central tanto en matemáticas como en física: En Matemáticas: Fue el primer ejemplo conocido de un haz fibrado no trivial , mostrando que los espacios pueden estar “entrelazados” de formas globalmente no obvi...

Introducción La Transformada Discreta de Fourier (TDF) transforma una sucesión de $n$ números complejos  $$\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\}$$ en otra sucesión de números complejos $$\{X_0, X_1, \ldots, X_{N-1}\}$$ por medio de la fórmula \begin{eqnarray} X_k &=&\; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{- i \, k \frac{2 \pi}{N}\, n}\qquad(k = 0, 1,\ldots, N-1)\nonumber\\ &=& \; \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_j \left[ \cos \left( k \, \frac{2\pi}{N} \, n \right) - i\, \sin \left(k\, \frac{2\pi}{N}\,n\right) \right]\label{four} \end{eqnarray} La segunda expresión se obtuve usando la fórmula de Euler $e^{it} = \cos t + i \text{sin}\, t$. Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos la siguiente sucesión de números complejos: $$\mathbf x = \left\{ 1, 2-i, -i, -1+2i \right\}$$ Al aplicar la TDF (\ref{four}) tenemos: \begin{equation} \begin{aligned} X_{0}= {} &\frac{1}{4} \big[ 1\cdot e^{-...

Una pequeña colaboración con el canal de YouTube MATH2ME https://www.geogebra.org/m/ymwxkyna

Introduction Esencialmente, el conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él. Cuando se traza en una pantalla de computadora en muchos colores (diferentes colores para diferentes tasas de divergencia), los puntos fuera del conjunto pueden producir imágenes de gran belleza. El límite del conjunto es una curva fractal de complejidad infinita, cualquier parte de la cual se puede explorar para revelar detalles cada vez más sobresalientes, incluidas las réplicas en miniatura del conjunto entero. El conjunto de Mandelbrot es sin duda el fractal más popular, y quizás el objeto más popular de las matemáticas contemporáneas de todos. Desde que Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) lo descubrió en 1979-1980, mientras investigaba el mapeo complejo $z \rightarrow z^2 + c ...

Con la siguiente herramienta creada por Andrei Kashcha  @anvaka , puedes graficar campos vectoriales (independientes del tiempo). Pantalla completa:  https://anvaka.github.io/fieldplay/

Introducción Muchos fractales se forman realizando una acción simple una y otra vez, en una secuencia de pasos recursivos. En cada paso, el objeto inicial ( input ) puede ser una figura simple (una curva poligonal, por ejemplo) y el resultado ( output ) es una modificación de esa forma. A continuación presentamos un método para construir fractales con GeoGebra clásico. Para esto necesitaremos los siguientes comandos: Punto() Segmento() Secuencia() Elemento() Encadena() Longitud() Por supuesto, supondremos que tienes un conocimiento básico del programa. Si aún no lo conoces, te recomiendo el  Tutorial GeoGebra  donde puedes aprender los elementos básicos de GeoGebra clásico. Tampoco es necesario explicar aquí cada uno de los comandos mencionados arriba. Sin embargo, si deseas conocer los detalles de cada comando entonces consulta: Comandos GeoGebra. El conjunto de Cantor con GeoGebra Comencemos con el ejemplo más conocido: el conjunto de Cantor. Iniciamos nues...

- The Chaos Game:  http://andrew.wang-hoyer.com/experiments/chaos-game/ - Chaotic atmospheres:  https://chaoticatmospheres.com/projects - Field Play:  https://anvaka.github.io/fieldplay/ - Fractal generator: https://anvaka.github.io/pplay/ - Simulations by Amanda Ghassaei:  http://apps.amandaghassaei.com/ - Tools for graphing:  http://weitz.de/plot/ - Julia Set:  http://julia.finengin.net/ - Strange attractor:  https://www.clicktorelease.com/code/codevember-2016/3/ - Mandelbrot:  http://mandelbrot.finengin.net/ - MathOnline:  http://mathonline.wikidot.com/ - 100,000 stars:  http://stars.chromeexperiments.com/ - Scale of the universe:  http://scaleofuniverse.com/ - Transformations Game:  https://embed.mangahigh.com/transtarhtml5 - Matrix multiplication:  http://matrixmultiplication.xyz/ - Euclidea (Juego de geometría):  http...