Compactificación de Alexandroff

Como es sabido, el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ no es compacto a pesar de contener muchos compactos (de hecho tiene tantos que es localmente compacto). En esta breve entrada veremos que a $\mathbb{R}^n$ no le hace falta mucho para ser compacto, basta añadirle un punto ajeno a él.

Sean $(X,\tau)$ espacio Hausdorff, localmente compacto, no compacto y $\infty$ un elemento que no pertenezca a $X$. Consideremos $\tilde{X}=X\sqcup \{\infty\}$ y definimos la colección

                $\tau'=\{A | A\in \tau\}\cup\{(X\backslash K) \cup \{\infty\} |  K\subset X\;\mbox{compacto} \}$

La familia $\tau'$ es una topología y el espacio topológico $(\tilde{X},\tau')$ es llamado la compactificación (unipuntual) de $X$; el espacio $\tilde{X}$ está determinado de manera única salvo homeomorfismo. Las principales propiedades de $\tilde{X}$, y la justificación del nombre, están dadas en el siguiente resultado demostrado por P.S. Alexandroff en [1]:

Teorema (de Alexandroff).

El espacio $(\tilde{X},\tau')$ es Hausdorff compacto. La topología inducida por $\tilde{X}$ en $X$ coincide con $\tau$ y además $\infty$ es punto de acumulación de $\tilde{X}$. 

P.S. Alexandroff

Estas propiedades caracterizan a la compactificación $\tilde{X}$; en particular muestran que $X$ es un subespacio (propio) de $\tilde{X}$, que su cerradura coincide con $\tilde{X}$, que $\tilde{X}\backslash X$ es un punto y que $\tilde{X}$ es único salvo homeomorfismo, El punto  $\tilde{X}\backslash X$ es comúnmente llamado el punto al infinito, de aquí la elección de la notación $\infty$ para el punto ajeno.

Puesto que la compactificación de un espacio se obtiene añadiendo un punto surge una pregunta: ¿cuál es la relación entre un espacio que ya es compacto y el espacio obtenido al removerle un punto? La respuesta está dada en el siguiente resultado que se obtiene como consecuencia inmediata de la Proposición 4.66 del libro [3].

Lemma. 

Todo espacio compacto Hausdorff $Y$ coincide con la compactificación de $Y\backslash \{y\}$, para cualquier $y\in Y$.

De este resultado y del teorema de arriba se obtiene que si $X'$ es un espacio compacto y $x_0$ es un punto de acumulación de $X'$, entonces la topología inducida en $X=X'\backslash \{x_0\}$ lo hace un espacio localmente compacto, no compacto. Más aún,  la unicidad de la compactificación de un espacio nos dice que esta es la manera en que se obtienen todos los espacios localmente compactos, no compactos; véase [5], página 194.

Dado que la compactificación de un espacio se obtiene añadiendo un punto resulta natural extender funciones continuas de la forma $X\to Y$ a una función entre compactificaciones. Esto puede hacerse si se tiene control sobre los subespacios compactos pues son éstos los que ayudan a definir la topología $\tau'$: toda función continua $f:X\to Y$ tal que la preimagen $f^{-1}(K)$ de cualquier compacto es un compacto puede extenderse a una función de la forma $\tilde{X}\to \tilde{Y}$; este es el Ejercicio 4.56 de [3].

En términos generales, una compactificación de un espacio $X$ consiste de un espacio compacto $Y$ y un encaje $c:X\to Y$ tal que la cerradura de $c(X)$ coincide con $Y$. La construcción de distintos encajes $X\to Y$ exhibe la posibilidad de hallar distintas compactificaciones de $X$. Esto conduce a considerar la familia de todas las compactificaciones de $X$ y preguntarse qué tan grande es dicha familia. El primer paso consiste en definir un orden en la familia y averiguar si se tienen elementos máximos y/o mínimos para dicho orden. En el caso de que $X$ es espacio de Tychonoff existe un elemento maximal llamado la compactificación Cech-Stone de $X$ (Corolario 3.5.10 en [2]); la compactificación de Alexandroff que mencionamos arriba es el elemento mínimo para el caso de espacios localmente compactos, no compactos (Teorema 3.5.11 en [2]).

Volviendo al caso con el que iniciamos: ¿cuál es la compactificación del espacio $\mathbb{R}^n$?

REFERENCIAS:

[1] Aleksandrov, P.S. Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Raüme, Math. An.n 92 (1924), 294-301.
[2] Engelking, R., General Topology, Sigma Series in Pure Mathematics Volume 6, Heldermann-Verlag, Berlin, 1989.
[3] Manetti, M., Topology, Springer-Verlag, 2015.
[4] Munkres, J., A First Course in Topology, Prentice Hall, 2000.
[5] Queffelec, H., Topologie, Dunod Paris, 2007.