Proyección estereográfica (en dimensión 2)
Lo expuesto en esta entrada se relaciona y amplía lo expuesto aquí Considere el plano $\mathbb{R}^2$, la esfera unitaria $S^2$ y $N=(0,0,1)$ su polo norte. Pruebe que $\mathbb{R},\:S^2\backslash{N}$ son espacios homeomorfos. Solución. Definiremos una función $f:S^2\backslash\{N\}\to \mathbb{R}^2$ como sigue: dado el punto $(x,y,z)\in S^2\backslash{N}$ consideramos la línea que une a $N$ con $(x,y,z)$; el punto de intersección de dicha línea con el plano $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$ es el valor de $f(x)$. Observemos que la función $f$ manda el hemisferio inferior de la esfera al disco unitario en $\mathbb{R}^2$ y el hemisferio superior al exterior del disco. Véase la figura de abajo. También puedes usar el siguiente applet: Mueve el punto A definido en la esfera. Puedes cambiar la perspectiva 3d con el ratón. Enlace: https://ggbm.at/bQKwnfN8 Para conocer las coordenadas de la función $f$ hagamos $f(x,y,z)=(u,v)$ y denotamos $r^2=x^2+y^2...
