Bestiario Topológico

Recordemos que un número primo es aquel cuyos únicos divisores son él mismo y el $1$. La existencia de los números primos es de gran importancia ya que el Teorema Fundamental de la Aritmética afirma que todo entero $n>1$ es un primo o es un producto de primos; además, la factorización en producto de primos es única salvo orden de los primos. En la presente nota daremos una prueba topológica de que existe una cantidad infinita de números primos. Para mostrar el resultado repasaremos algunos conceptos y resultados elementales de topología. Preliminares topológicos En una nota anterior  hablamos sobre los abiertos de una topología, con lo cual podemos definir: un cerrado es aquel subespacio cuyo complemento es abierto. Algo que no se dijo en esa cómo generar una topología; aquí una forma: dada una topología $\tau$ para $X$ decimos que $\mathcal{B}\subset \tau$ es una base para $\tau$ si todo abierto puede ser expresado como unión de elementos de $\mathcal{B}$. La c...

La compacidad de un espacio $X$ es una de las propiedades más importantes dentro del Análisis pues permite, entre otras cosas, garantizar la existencia de puntos máximo y mínimo de una función continua definida sobre $X$ (Teorema de Weierstrass), así como caracterizar a los subespacios acotados y cerrados de $\mathbb{R}^n$, via el teorema de Heinel-Borel. Inclusive, es posible analizar la posibilidad de viajes en el tiempo a través del concepto de compacidad! Ver aquí  la información. Por otro lado, el que un espacio $X$ sea Hausdorff implica que todo subespacio finito de $X$ es cerrado; en particular, se obtiene que los espacios de la forma $\{x\}$ son cerrados, como se conocía para el caso de espacios euclidianos. Otra consecuencia importante es la unicidad del límite de una sucesión de puntos en $X$, lo cual es algo que siempre se quiere tener. En el presente comentario mostraremos que dado cualquier conjunto $X$ siempre es posible dotarlo de una estructura de espacio topol...

Recordemos  que el Problema de Nielsen consiste en determinar qué subgrupos del grupo modular $\Gamma (S_g)$ pueden ser representados en $Top(S_g)$. Por ejemplo, dado $H\subset \Gamma (S_g)$ con $H=<h>$ cíclico infinito, ¿es cierto que $h$ es de orden infinito? Hagamos $g=0$ y consideremos el grupo modular $\Gamma(S^2)$. En 1926 H. Kneser publica el resultado que afirma que todo homeomorfismo de $S^2$ que preserva orientación es isotópico a una rotación; el análogo diferenciable se debe a S. Smale . En el caso de considerar el grupo modular $\Gamma^{\pm}(S^2)$ de todos los homeomorfismos (los que preservan orientación y los que no) se tiene que $\Gamma^{\pm}(S^2)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2=\{1,a\}$, donde $1$ es la identidad y $a$ es la función antipodal $x\mapsto -x$. Así, todo el grupo $\Gamma^{\pm}(S^2)$ queda representado por las funciones identidad y antipodal. Tomemos el caso $g=1$. Recordemos el isomorfismo $\Gamma(S_g)\cong Out \pi_1(S_...

Además de la importancia que tienen en la vida cotidiana, los nudos son objetos que pueden ser estudiados desde un punto de vista matemático y resultan de gran importancia en la Topología de Bajas Dimensiones. Definiciones y el grupo de nudo Un nudo es un subconjunto $K$ del espacio $\mathbb{R}^3$ homeomorfo a la circunferencia unitaria $S^1$. Notemos que del homeomorfismo de la definición se sigue que un nudo $K$ es una curva cerrada (termina en el mismo punto donde inició) y que no se intersecta a sí misma. Abajo un ejemplo de nudo, el nudo trébol (en una versión cúbica). Así como con otros objetos en las matemáticas es importante definir una relación de equivalencia entre nudos: dos nudos $K_1,K_2$ son llamados equivalentes si existe un homeomorfismo $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ tal que $h(K_1)=K_2$; es decir, dos nudos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro. En la figura de abajo se muestran nudos equivalentes Un primer pro...

Jean Frédéric Frenet (1816-1900) y Joseph Alfred Serret (1819-1885) desarrollaron de manera independiente un conjunto de fórmulas para describir propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve sobre una curva continua y diferenciable en tres dimensiones. Actualmente, estas fórmulas se conocen como Fórmulas de  Frenet-Serret : \[\frac{d\mathbf T}{ds}=k\mathbf N,\quad\frac{d\mathbf N}{ds}=-k\mathbf T+\tau\mathbf B\quad\text{y}\quad\frac{d\mathbf B}{ds}=\tau\mathbf N.\] donde $d/ds$ es la derivada con respecto a la longitud de arco, $k$ es la curvatura y $\tau$ es la torsión. Estas fórmulas describen una conexión entre las derivadas de los vectores unitarios tangente T , normal N y binormal B ; entre ellos mismos. En conjunto, a los tres vectores mencionados se les conoce como Frenet-Serret frame (que se podría traducir como: 'marco de Frenet-Serret'). La siguiente animación muestra el Frenet-Serret frame , el cual consiste de tres vectores. El vector azul represe...

Las transformaciones de Möbius son funciones racionales complejas de la forma $$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ donde $a,b,c$ y $d$ son constantes complejas tales que $ad-bc\neq 0$. Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius  (1790-1868), aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas. August Möbius (1790-1868) Source: Wikipedia Las propiedades matemáticas de las transformaciones de Möbius se estudian en los cursos de variable compleja. Por ejemplo, se sabe que dichas transformaciones son funciones meromórficas (de hecho el grupo de automorfismos meromóficos del plano extendido $\mathbb C_{\infty}$ consiste precisamente de transformaciones de Möbius) y además son funciones conformes en todas partes. También estas transformaciones poseen la siguiente propiedad geométrica: Los arcos de circunferencias son transformados (o mapeados)...

1. Los logaritmos en el contexto escolar Los logaritmos se estudian, generalmente, en los primeros cursos de matemáticas a nivel Universitario. Claro que en las carreras de matemáticas, o ciencias duras, se estudian con más profundidad debido a sus múltiples aplicaciones. En los cursos (y en los libros también) se explica que el logaritmo  es el exponente al que hay que elevar un número, llamado base , para obtener otro número determinado. O si se prefiere, más formalmente: Definición:  Sea $b>0$ y $b\neq 1$. Si $x$ es un número positivo real, escribimos $$\log_b x$$ para designar el logaritmo de $x$ en base $b$, el cual es el único número real $y$ que satisface  $x=b^y.$ También se estudian las famosas propiedades (o leyes) de logaritmos: $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ $\log_a\left( \dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_ay$ $\log_a \left( x^p\right)=p\log_a x$. En la práctica, trabajando en México y Australia, he observado...