Bestiario Topológico

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Mostrando las entradas de 2016

Compactificación de Alexandroff

De Miguel A. Maldonado - diciembre 13, 2016

Como es sabido, el espacio euclidiano

$\mathbb{R}^n$ no es compacto a pesar de contener muchos compactos (de hecho tiene tantos que es localmente compacto). En esta breve entrada veremos que a

$\mathbb{R}^n$ no le hace falta mucho para ser compacto, basta añadirle un punto ajeno a él. Sean

$(X,\tau)$ espacio Hausdorff, localmente compacto, no compacto y

$\infty$ un elemento que no pertenezca a

$X$ . Consideremos

$\tilde{X}=X\sqcup \{\infty\}$ y definimos la colección

$\tau'=\{A | A\in \tau\}\cup\{(X\backslash K) \cup \{\infty\} | K\subset X\;\mbox{compacto} \}$ La familia

$\tau'$ es una topología y el espacio topológico

$(\tilde{X},\tau')$ es llamado la compactificación (unipuntual) de

$X$ ; el espacio

$\tilde{X}$ está determinado de manera única salvo homeomorfismo. Las principales propiedades de

$\tilde{X}$ , y la justificación del nombre, están dadas en el siguiente resultado demostrado por P.S. Alexandroff...

El reto de los cuatro colores

De Carlos Ponce - diciembre 11, 2016

Colorea este mapa, de modo que no haya dos regiones adyacentes que sean del mismo color. Sólo puedes utilizar cuatro colores: azul, verde, rojo y morado. Para colorear, haz clic en una región. Para cambiar de color, vuele hacer clic en la misma región. Enlace: https://ggbm.at/VVPNYuBN Si quieres ver una posible solución Haz clic aquí . ¿Puedes encontrar otra solución? Hay muchas...

Dos ejercicios de Topología General

De Miguel A. Maldonado - noviembre 19, 2016

1.- Sean

$X$ espacio topológico y

$A,B\subset X$ tales que

$X=A\cup B$ . Prueba que para

$M\subset A\cap B$ que es abierto de

$A$ y abierto de

$B$ se tiene que

$M$ es abierto de

$X$ . Solución . Por ser abierto relativo, existen

$U,V$ abiertos de

$X$ tales que

$M=A\cap U,\;\;M=B\cap V$ . Notemos que

$A\cap U\cap V=M\cap V=B\cap V\cap V =B\cap V=M$

$B\cap V\cap U=M\cap U=A\cap U\cap U =A\cap U=M$ De las relaciones anteriores se sigue que

$M=M\cup M=(A\cap U\cap V)\cup (B\cap U\cap V)$ ...

Nudos en el Toro

De Carlos Ponce - noviembre 06, 2016

En la teoría de nudos, un nudo de toro es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro en

$\mathbb R^3$ . Cada nudo de toro se especifica por un par de números enteros coprimos

$p$ y

$q$ . Un enlace de toro surge si

$p$ y

$q$ no son coprimos (en cuyo caso el número de componentes es gcd

$(p, q)$ ). Un nudo de toro es trivial si y sólo si

$p$ o

$q$ es igual a

$1$ o

$-1$ . El ejemplo más simple no trivial es el nudo

$(2,3)$ -torus, también conocido como nudo de trébol. El nudo

$(p, q)$ -torus puede ser dado por la parametrización:

$x=r\cos(p\,\phi )$

$y=r\sin(p\,\phi )$

$z=-\sin(q\,\phi )$ donde

$r=\cos(q\,\phi)+2$ y

$0<\phi<2\pi$ . Esto se encuentra en la superficie del toro dada por

$(r-2)^{2} + z^{2} = 1$ (dada en coordenadas cilíndricas). En el siguiente applet puedes observar diferentes ejemplos del nudo

$(p, q)$ -torus. Cambia los valores de

$p$ y

$q$ . También puedes rotar la vista 3D haciendo click con el botón derecho del ratón. https://w...

Transformación de helicoide

De Carlos Ponce - noviembre 03, 2016

El helicoide puede ser continuamente deformado en un catenoide mediante la transformación

$x(u,v)= \cos \alpha \,\text{senh}\, v \,\text{sen}\, u+ \text{sen}\, \alpha\, \text{cosh}\, v \,\cos u$

$y(u,v)=- \cos \alpha\, \text{senh}\, v\, \cos u+ \text{sen}\, \alpha \,\text{cosh}\, v\, \text{sen} \, u$

$y(u,v)=u\, \cos \alpha +v \, \text{sen}\, \alpha.$ Donde

$\alpha = 0$ corresponde a un helicoide y

$\alpha = \pi / 2$ a un catenoide. https://ggbm.at/dEhwEJvJ

Dos ejercicios de Topología General

De Miguel A. Maldonado - septiembre 25, 2016

1 .- Sea

$X=[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y consideremos la colección de subconjuntos de

$X$ dada por

$\tau=\{U\subset X\: |\: 0\notin U\;\; ó\;\; (-1,1)\subset U\}$ Pruebe que

$\tau$ es una topología para

$X$ y determine todos sus cerrados. Solución . Dado que

$0\notin \emptyset$ , se sigue que

$\emptyset \in \tau$ y como

$(-1,1)\subset X$ se tiene que

$X\in \tau$ . Consideremos ahora una colección

$\{U_i\}_{i\in I}$ de elementos de

$\tau$ . (i) Si

$0\notin U_i, \forall i$ , entonces

$0\notin \bigcup_{i\in I}U_i$ y la unión es elemento de

$\tau$ . (ii) Por otro lado, si existe

$j$ tal que

$(-1,1)\subset U_j$ , se tiene que

$(-1,1) \subset \bigcup_{i\in I}U_i$ y también la unión es elemento de

$\tau$ . Tomemos aho...

Problema: Mediatriz, bisectriz y circunferencia

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ . Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en el siguiente applet de Geogebra: Nota: Ver applet en html aquí Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ . De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ , entonces l debe pasar necesariamente por el punto M . Demostración: Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ , entonces l debe pasar por el punto M . Figura 1 Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la Figura 2. Figura 2 Consideremos los segmentos PR y QR . Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ ...

Galileo Galilei y su ley de caída libre

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

1. Introducción Con respecto al estudio del movimiento de caída libre, el filósofo griego Aristóteles (384-322 aC) asumió que los objetos más pesados caían más rápido que los más ligeros. Esta suposición se mantuvo durante casi 2000 años hasta que, a finales del siglo XVI, el matemático italiano Galileo Galilei (1564-1642) demostró que en realidad todos los objetos caen al mismo tiempo sin importar el peso de estos. Corrientes de pensamiento con respecto al movimiento de caída libre Aristoteliana Galileana Galileo estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía radicalmente las nociones aristotélicas acerca de la caída libre. Por supesto que en esa...

La suma de todos los números naturales es -1/12

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

Qué resultado se obtiene si realizamos la suma de todos los números naturales

$1+2+3+4+5+\cdots$ Por supuesto, nuestra respuesta sería que el valor de la suma es infinito, lo cual concuerda con nuestra experiencia y con las reglas matemáticas que hemos aprendido en la escuela. Entonces podemos afirmar que: La suma de todos los números naturales es infinita. Esto lo podemos escribir de la siguiente forma

$1+2+3+4+5+\cdots =\infty$ Pero qué pensarías si, utilizando un método matemático, podemos obtener la siguiente expresión

$1+2+3+4+5+\cdots =-\frac{1}{12}$ Suena un tanto ilógico... bueno, si te interesa saber cómo se puede llegar a este resultado, te invito a leer el documento Curiosidades del Infinito (muestra abajo). Es mi primer intento de recopilación de ejemplos matemáticos que muestran ciertas anomalías cuando se involucra el concepto del infinito. Lo estaré actualizando cuando tenga tiempo con más referencias y por supuesto, con más ejemplos paradó...

Ilusión de movimiento: Proyección ortográfica

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas. Las proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional. Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal ), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano). Es posible mover los planos

$XY$ ,

$YZ$ y

$XZ$ con respecto a tres ángulos diferentes

$\alpha$ ,

$\beta$ , y

$\gamma$ , respectivamente. Para ello se pueden utilizar las siguientes matrices: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos ...

Acerca de Los Elementos de Euclides: algunos ejemplos en geometría dinámica

De Carlos Ponce - agosto 17, 2016

Los comienzos [de la Matemática] tuvieron una base intuitiva y empírica. El rigor se convirtió en una necesidad con los griegos, y -aunque se lograra poco hasta el siglo XIX- por un momento pareció alcanzado. Pero todos los esfuerzos por perseguir el rigor hasta el final han conducido a un callejón sin salida, donde ya no hay acuerdo sobre qué significa realmente. La matemática sigue viva y con buena salud, pero solo mientras se apoye en una base pragmática. Morris Kline (1992, p. 1599) 1. Un poco de historia de Euclides Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) fue un matemático griego. En realidad se conoce muy poco su vida, pese a ser uno de los matemáticos más famosos de la Antigüedad. Posiblemente Euclides estudió en Atenas, lo cual explica su conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en la ciudad de Alejandría, donde alcanzó gran fama y prestigio durante el r...

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