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La belleza de las ecuaciones diferenciales

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  $\dfrac{dx}{dt}= x - y - x (x^2 + y^2),\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y - y (x^2 + y^2)$ $\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$ $\dfrac{dx}{dt}= 1,\;\: \dfrac{dy}{dt}= y^2 - x^2$ $\dfrac{dx}{dt}= x - y,\;\: \dfrac{dy}{dt}= x + y $ $\dfrac{dx}{dt}= ?,\;\: \dfrac{dy}{dt}=?$ $\dfrac{dx}{dt}= x^2 - y^2,\;\: \dfrac{dy}{dt}= 2xy$ Become a member!
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#citadelibro

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Euclides fundó su escuela en los tiempos de Ptolomeo I Soter, que reinó entre 313 y 283 antes de nuestra era. Se cuenta que, después de aprender las primeras lecciones de geometría, un estudiante preguntó el beneficio que obtendría de su aprendizaje. Euclides llamó a un esclavo y le dijo: "Dale tres monedas a este muchacho, pues necesita ganar algo de cada cosas que aprende".   Texto tomado del libro  En el principio la geometría , de Javier Bracho y José Antonio de la Peña, UNAM, 1996.
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¿Qué es la teoría de Morse?

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En términos generales, la teoría de Morse trata del estudio de una variedad suave $M$ a través de funciones continuas $f:M\to \mathbb{R}$; en particular, estudia la relación que existe entre  los puntos críticos de una función $f$ con ciertos subespacios $M_t$, que forman una filtración para $M$. Algunos conceptos del cálculo Recordemos que la derivada de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está dada por  $$ Df(x)= \frac{d}{dx}f(x)= \lim_{t\to 0} \frac{f(x+t)-f(x)}{t}$$ Un punto $x\in \mathbb{R}$ es crítico para $f$ si $Df(x)=0$; estos puntos son importantes pues representan los  máximos y los mínimos de la función, equivalentemente, son los puntos donde la función cambia de dirección.  En general, para una función de la forma $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$, es posible definir puntos críticos a través de su  campo vectorial   gradiente : $$\nabla f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d,\;\; x\mapsto \nabla f(x) = \left[\frac{df}{dx_1}(x),\frac{df}{dx_2}(...
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#momomememate #maths

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  Tomado de la página de cómics  https://xkcd.com/
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#citadelibro

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Physical bodies can be studied in two ways: through their internal structure or through their interaction with known objects.... In topology,  homology theory corresponds to the former, while homotopy theory corresponds to the latter. Riemann, Topology, and Physics , Michael Monastyrsky, Birkhäuser, 2008.
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#momomememate #maths

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No importa cuándo leas esto. (Tampoco importa quién lo lea)
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#momomememate #maths

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En algún lado escuché que es más fácil aprender a pilotar un avión que entender qué fuerzas actúan en él para mantenerlo en el aire. En topología ocurre algo similar cuando se trata de homeomorfismos (deformaciones continuas) entre espacios: en muchas ocasiones es más fácil transmitir la idea ( el feeling) de la deformación que escribir la fórmula explícita de las funciones involucradas.  
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¿Qué es la homología?

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En esta nota hablaremos acerca de la teoría de homología para espacios topológicos; daremos su definición, algunos cálculos sencillos y hablaremos de ciertas aplicaciones inmediatas. A  lo largo de este texto $R$ denotará un anillo conmutativo con identidad.  Definiciones En términos generales, la homología de un espacio $X$ es la construcción de un funtor covariante $$ \mathcal{Top}\longrightarrow R\mathcal{Mod},\qquad X\mapsto H_*(X;R)=\{H_0(X;R),H_1(X;R), \ldots\} $$ que asocia a cada espacio topológico $X$ una colección de $R$-módulos. De manera particular,  dicho funtor se construye en dos pasos: $\bullet$ A partir de $X$, y dependiendo si tiene una estructura diferenciable, continua o combinatoria, se construye un complejo de cadenas de $R$-módulos: $$ \cdots \stackrel{}{\longrightarrow} C_{q+1}(X;R)\stackrel{\partial_{q+1}}{\longrightarrow} C_q(X;R)\stackrel{\partial_q}{\longrightarrow}C_{q-1}(X;R)\stackrel{}{\longrightarrow}$$ Es decir, una colección de ...
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La topología de Zariski

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Sean $\mathbb{F}$ un campo y $n$ entero positivo. Para un elemento $f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]$, en el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}$, consideramos $$D(f):=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f(a_1,a_2,\ldots, a_n)\neq 0\},$$ llamados conjuntos abiertos distinguidos . Afirmación : la colección $\mathcal{D}:=\{D(f)\;|\; f\in\mathbb{F}[x_1, \ldots,x_n]\}$ es una base para una topología en $\mathbb{F}^n$. Solución. Para el polinomio constante $1=1+0x_1+\cdots 0x_n$ se tiene que $D(1)=\mathbb{F}^n$. Por otro lado, para $D(f),D(g)\in \mathcal{D}$ tomamos el producto $f\cdot g$ de los polinomios correspondientes y notamos que $D(f)\cap D(g)=D(f\cdot g)$; asi que $D(f)\cap D(g)\in \mathcal{D}$. $\blacksquare$ La topología obtenida de este modo es llamada la topología (por abiertos) de Zariski ; algunos autores prefieren definir dicha topología considerando los cerrados  $$V(f):=\mathbb{F}^n\backslash D(f)=\{(a_1,a_2,\ldots, a_n)\in \mathbb{F}^n\;|\; f...
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#citadelibro Cero en geometría

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 Henry miró el reloj. Dos de la madrugada. Cerró el libro con desesperación. Seguramente que mañana sería reprobado. Entre más quería hundirse en la geometría, menos la entendía. Dos fracasos ya, y sin duda iba a perder un año. Sólo un milagro podría salvarlo. Se levantó ¿Un milagro? ¿Y por qué no? Siempre se había interesado en la magia. Tenía libros. Había encontrado instrucciones sencillísimas para llamar a los demonios y someterlos a su voluntad. Nunca había hecho la prueba. Era el momento: ahora o nunca. Sacó del estante el mejor libro sobre magia negra. Era fácil. Algunas fórmulas. Ponerse al abrigo en un pentágono. El demonio llega. No puede nada contra uno, y se obtiene lo que se quiera. Probemos. Movió los muebles hacia la pared, dejando el suelo limpio. Después dibujó sobre el piso, con un gis, el pentágono protector. Y después, pronunció las palabras cabalísticas. El demonio era horrible de verdad, pero Henry hizo acopio de valor y se dispuso a dictar su voluntad. - Siem...
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Una habilidad muy especial de los humanos

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En palabras de G. Carlsson: "Humans are really good at recognizing deformation invariant properties". Debido a esta habilidad, los humanos podemos leer una palabra independientemente de la fuente que haya sido usada al escribirla: topología topología topología topología topología topología topología topología topología La cita fue tomada del video de Gunnar Carlsson sobre el Análisis Topológico de Datos: 
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Introducción a la programación con p5.js (Parte 3)

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Parte 2: Figuras geométricas y colores Traslación, rotación y escala de figuras geométricas en el plano La posición y tamaño de las figuras geométricas que podemos dibujar en  p5.js  se determinan con base en coordenadas y parámetros. Si deseamos cambiar la posición o tamaño de estas figuras, simplemente cambiamos sus coordenadas o parámetros. Alternativamente, podemos cambiar el sistema de coordenadas definido por defecto para obtener el mismo resultado. De hecho, podemos crear diferentes transformaciones incluyendo translación, rotación y escala. Traslación La función translate() , por ejemplo, cambia el sistema de coordenadas directamente como se muestra en la siguiente imagen: En el siguiente ejemplo notemos como el rectángulo se dibuja en la coordenada (0,0), pero se mueve se mueve con respecto a la posición del ratón en el lienzo, porque este es afectado por la función translate() : Nota: La variable de sistema mouse...
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Galileo Galilei y su ley de caída libre

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1. Introducción Con respecto al estudio del movimiento de caída libre, el filósofo griego Aristóteles (384-322 aC) asumió que los objetos más pesados ​​caían más rápido que los más ligeros. Esta suposición se mantuvo durante casi 2000 años hasta que, a finales del siglo XVI, el matemático italiano  Galileo Galilei  (1564-1642)  demostró que en realidad todos los objetos caen al mismo tiempo sin importar el peso de estos. Corrientes de pensamiento con respecto al movimiento de caída libre Aristoteliana                                          Galileana Galileo estaba convencido de que en un espacio completamente libre de aire, dos cuerpos en caída libre cubrían distancias iguales en tiempos iguales sin importar su peso. Esto contradecía radicalmente las nociones aristotélicas acerca de la caída libre. Por supesto que en esa...
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Breve historia del Cálculo

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1. Introducción El historiador de las matemáticas Morris Kline considera al Cálculo, después de la geometría, como la creación más grande en todas las matemáticas [4, p. 342]. Generalmente se atribuye su invención principalmente a dos matemáticos del siglo XVII, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Sin embargo, esta es una excesiva y absurda simplificación de los hechos. En realidad el Cálculo, tal y como lo conocemos actualmente, es el producto de una larga evolución en la cual ciertamente estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo [6]. Leibniz Newton En términos muy generales, el  Cálculo llegó para resolver y unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y manejar...
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Una historia de la Teoría de Conjuntos

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La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente comparada con la historia de la mayoría de las otras áreas de las matemáticas. Para la mayoría de las áreas por lo general se puede rastrear un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta alcanzar un resplandor final de inspiración, a menudo por un número de matemáticos casi simultáneamente, produciendo un descubrimiento de gran importancia. La teoría de conjuntos sin embargo, es bastante diferente. Su creación se debe a una sola persona, Georg Cantor. Antes de adentrarnos en la historia principal del desarrollo de la teoría de Cantor, primero examinamos algunas contribuciones preliminares. Georg Cantor La idea de infinito había sido objeto de una profunda reflexión desde la época de los griegos. Zenón de Elea, alrededor de 450 aC, con sus problemas en el infinito, hizo una importante contribución. En la Edad Media, la discusión del infinito había dado lugar a la comparación de conjuntos infinitos. Por ...
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