Bestiario Topológico

Jean Frédéric Frenet (1816-1900) y Joseph Alfred Serret (1819-1885) desarrollaron de manera independiente un conjunto de fórmulas para describir propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve sobre una curva continua y diferenciable en tres dimensiones. Actualmente, estas fórmulas se conocen como Fórmulas de  Frenet-Serret : \[\frac{d\mathbf T}{ds}=k\mathbf N,\quad\frac{d\mathbf N}{ds}=-k\mathbf T+\tau\mathbf B\quad\text{y}\quad\frac{d\mathbf B}{ds}=\tau\mathbf N.\] donde $d/ds$ es la derivada con respecto a la longitud de arco, $k$ es la curvatura y $\tau$ es la torsión. Estas fórmulas describen una conexión entre las derivadas de los vectores unitarios tangente T , normal N y binormal B ; entre ellos mismos. En conjunto, a los tres vectores mencionados se les conoce como Frenet-Serret frame (que se podría traducir como: 'marco de Frenet-Serret'). La siguiente animación muestra el Frenet-Serret frame , el cual consiste de tres vectores. El vector azul represe...

Las transformaciones de Möbius son funciones racionales complejas de la forma $$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ donde $a,b,c$ y $d$ son constantes complejas tales que $ad-bc\neq 0$. Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius  (1790-1868), aunque también se nombran como transformaciones especiales conformes, transformaciones racionales lineales o transformaciones homográficas. August Möbius (1790-1868) Source: Wikipedia Las propiedades matemáticas de las transformaciones de Möbius se estudian en los cursos de variable compleja. Por ejemplo, se sabe que dichas transformaciones son funciones meromórficas (de hecho el grupo de automorfismos meromóficos del plano extendido $\mathbb C_{\infty}$ consiste precisamente de transformaciones de Möbius) y además son funciones conformes en todas partes. También estas transformaciones poseen la siguiente propiedad geométrica: Los arcos de circunferencias son transformados (o mapeados)...

1. Los logaritmos en el contexto escolar Los logaritmos se estudian, generalmente, en los primeros cursos de matemáticas a nivel Universitario. Claro que en las carreras de matemáticas, o ciencias duras, se estudian con más profundidad debido a sus múltiples aplicaciones. En los cursos (y en los libros también) se explica que el logaritmo  es el exponente al que hay que elevar un número, llamado base , para obtener otro número determinado. O si se prefiere, más formalmente: Definición:  Sea $b>0$ y $b\neq 1$. Si $x$ es un número positivo real, escribimos $$\log_b x$$ para designar el logaritmo de $x$ en base $b$, el cual es el único número real $y$ que satisface  $x=b^y.$ También se estudian las famosas propiedades (o leyes) de logaritmos: $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ $\log_a\left( \dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_ay$ $\log_a \left( x^p\right)=p\log_a x$. En la práctica, trabajando en México y Australia, he observado...

Sean $\alpha\neq 0,\:k$ entero positivo y consideremos el problema de calcular la integral $y=\int e^{\alpha x}P(x)dx,$ donde $P(x)=p_0+p_1x+\cdots+ p_kx^k$. El método natural consistiría en aplicar el Método de Integración por partes de manera iterada (de hecho, $k$ veces) pero mostraremos que usando la teoría de ecuaciones diferenciales puede obtenerse un método más directo. Aclaración : lo que a continuación se expone es tomado del libro Elementary Differential Equations  de William F. Trench, disponible aquí . Primero observemos que al derivar a $y$ se obtiene $y'=e^{\alpha x}P(x)$. Usando el método de Coeficientes Indeterminados escribimos $y=e^{\alpha x}u$; de donde se obtiene $(u'+\alpha u)e^{\alpha x}=e^{\alpha x}P(x)\Longleftrightarrow u'+\alpha u=P(x)$ Si $u_p$ es una solución particular de la última ecuación entonces $u_p$ se escribe como un polinomio $A_0+A_1x+ \cdots+A_kx^k$. Así, la ecuación anterior tiene la forma ...

Sea $X$ espacio topológico y $p\in X$ un punto distinguido. Definimos el grupo fundamental $\pi_1(X,p)$ como el conjunto de clases de homotopía de lazos basados en $p$ bajo la operación $[\alpha]*[\beta]=[\alpha*\beta]$, donde $\alpha*\beta$ es la concatenación de lazos y con el elemento identidad dado por la clase del lazo constante. La asociación $X\mapsto \pi_1(X,p)$ tiene un comportamiento funtorial : dado $Y$ espacio topológico y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f(p)=q$ existe un homomorfismo $f_*:\pi_1(X,p)\to \pi_1(Y,q)$, de donde se obtiene que para todo espacio $Y$ homeomorfo a $X$ se tiene $\pi_1 (Y,q)\cong \pi_1(X,p)$. En el siguiente texto analizaremos de qué manera el punto base en $\pi_1(X,p)$ da origen a preguntas interesantes dentro de la teoría de grupos modulares ( mapping class groups ). Sean $S_g$ la superficie orientable de género $g$, $Top\:(S_g)$ el grupo de homeomorfismos de $S_g$ y $\Gamma(S_g)=Top\:(S_g)/\simeq $ su grupo modular (extendido)...

El espacio de configuraciones de un sistema mecánico es la representación matemática de la totalidad de estados del sistema. Este objeto es la base para estudiar el problema de la planeación de movimiento en Robótica, planteamiento que corresponde al área encargada del diseño, creación e implementación de algoritmos para el movimiento de un robot. La importancia de estos espacios radica en que la planeación de movimiento físico es cambiada a un problema de planeación de movimiento topológico .  Veámos a continuación un ejemplo: supongamos que queremos considerar el espacio de configuraciones $X$ de tres robots moviéndose ( sin colisionar ) en alguna región del plano $\mathbb{R}^2$. Representando a cada robot como un punto en $\mathbb{R}^2$, cada estado del espacio $X$ queda determinado por tercias de puntos de $X$ distintos entre sí; es decir, $$ X=\{(a,b,c)\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \;|\; a\neq b, b\neq c, c\neq a\} $$ La descripción anteri...